Errata para Atiyah-Macdonald

Question

¿Hay alguna buena errata para Atiyah-Macdonald disponible? Una búsqueda superficial en Google revela una lista ridículamente corta aquí con sólo unos pocos errores tipográficos. ¿Hay alguna fuente disponible en línea que enumere las inexactitudes y lagunas?

Answer 1

Querido Tim, en la página 31 consideran un anillo $A$ y dos $A$ - álgebras definidas por sus morfismos estructurales de anillo $f:A\to B$ y $g:A\to C$ . A continuación, definen el producto tensorial como un anillo $D=B\otimes _A C$ y quiere que sea un $A$ - de álgebra. Para ello deben definir el morfismo estructural $A\to D$ y afirman que viene dada por la fórmula $a \to f(a)\otimes g(a)$ Esto es falso ya que ese mapa no es un morfismo de anillo. El mapa estructural correcto $A\to D$ es en realidad $a\mapsto 1_B\otimes g(a) =f(a)\otimes 1_C$ .

PS: Para evitar malentendidos, permítanme añadir que Atiyah-MacDonald es, a mi gusto El mejor libro de matemáticas que he visto nunca, en todas las materias.

Answer 2

EDICIÓN DEL 26 DE JULIO DE 2017

La proposición 2.4 de la página 21 dice

Dejemos que $M$ sea una entidad finitamente generada $A$ -módulo, deja que $\mathfrak a$ sea un ideal de $A$ y que $\phi$ ser un $A$ -endomorfismo de módulo de $M$ tal que $\phi(M)\subseteq\mathfrak a M$ . Entonces $\phi$ satisface una ecuación de la forma $$\phi^n+a_1\,\phi^{n-1}+\cdots+a_n=0$$ donde el $a_i$ están en $\mathfrak a$ .

Estrictamente hablando, esto no tiene sentido (me parece) porque $\phi$ y el $a_i$ pertenecen a diferentes anillos. Sugiero el siguiente replanteamiento:

Dejemos que $M$ sea una entidad finitamente generada $A$ -módulo, deja que $\mathfrak a$ sea un ideal de $A$ , dejemos que $\phi$ ser un $A$ -endomorfismo de módulo de $M$ tal que $\phi(M)\subseteq\mathfrak a M$ y que $\psi:A\to\operatorname{End}_A(M)$ sea el morfismo natural. Entonces $\phi$ satisface una ecuación de la forma $$\phi^n+\psi(a_1)\,\phi^{n-1}+\cdots+\psi(a_n)=0$$ donde el $a_i$ están en $\mathfrak a$ .

Otra solución sería equipar $\operatorname{End}_A(M)$ con su natural $A$ -estructura del módulo y cambiar la visualización a $$ \phi^n+a_1\,\phi^{n-1}+\cdots+a_n\,\phi^0=0. $$

FIN DE LA EDICIÓN DEL 26 DE JULIO DE 2017

EDICIÓN DEL 9 DE JUNIO DE 2011

Página 102, penúltimo párrafo:

"... $f$ induce un homomorfismo $\widehat{f}:\widehat{G}\to\widehat{H}$ que es continua".

No se ha definido ninguna topología en $\widehat{G}$ y $\widehat{H}$ .

[7 de julio de 2011, GMT. La topología en $\widehat{G}$ puede describirse como sigue. Para cualquier subconjunto $S$ de $G$ , dejemos que $\widehat{S}\subset\widehat{G}$ sea el conjunto de clases de equivalencia de las secuencias de Cauchy en $S$ y decir que un subconjunto $V$ de $\widehat{G}$ es una vecindad de $0$ si hay un barrio $W$ de $0$ en $G$ tal que $\widehat{W}\subset V$ .]

Por cierto, hay (creo) un "error" algo similar en el artículo que Atiyah escribió con Wall en "Algebraic Number Theory" Ed. Cassels y Froehlich (ver Errata para Cassels-Froehlich ). Atiyah y Wall olvidaron mencionar la compatibilidad crucial entre el cambio de grupos y los morfismos de conexión. (Ver p. 99.)

FIN DE LA EDICIÓN DEL 9 DE JUNIO DE 2011

Página 25, primera línea de la prueba de (2.13): cambiar (2.11) por (2.12).

Página 29, aproximadamente dos tercios de la página: cambiar (2.14) por (2.13).

EDITAR. Página 39, última línea: cambiar $m$ a $m_i$ (tres veces).

EDICIÓN DE NOVIEMBRE. 22, 2010. Página 63, prueba del lema 5.14. El texto actual dice

Por el contrario, si $x\in r(\mathfrak a^e)$ entonces $x^n=\sum a_i\,x_i$ para algunos $n>0$ donde el $a_i$ son elementos de $\mathfrak a$ y el $x_i$ son elementos de $C$ . Dado que cada $x_i$ es integral sobre $A$ se deduce de (5.2) que $M=A[x_1,\dots,x_n]\ \dots$

Sería mejor (creo) escribir algo como

Por el contrario, si $x\in r(\mathfrak a^e)$ entonces $x^n=a_1\,x_1+\cdots+a_m\,x_m$ para algunos $m,n>0$ donde el $a_i$ son elementos de $\mathfrak a$ y el $x_i$ son elementos de $C$ . Dado que cada $x_i$ es integral sobre $A$ se deduce de (5.2) que $M=A[x_1,\dots,x_m]\ \dots$

[8 de julio de 2011, GMT. Página 90. Me parece que la segunda parte de la prueba del teorema 8.7 puede simplificarse. Debemos comprobar la unicidad de la descomposición de un anillo de Artin $A$ como un producto finito de anillos locales de Artin $A_i$ . Para ello basta con observar que, para cada ideal primario mínimo $\mathfrak q$ de $A$ hay un único $i$ tal que $\mathfrak q$ es el núcleo de la proyección canónica sobre $A_i$ .]

[7 de julio de 2011, GMT. Página 107, líneas 4-5. En lugar de $A^*=A[x_1,\dots,x_r]$ leer $A^*=A[y_1,\dots,y_r]$ donde $y_i=(0,x_i,0,\dots)$ .]

[7 de julio de 2011, GMT. Página 112, prueba de la proposición (10.24). En lugar de $\mathfrak{a}^{k+n(i)}$ leer $\mathfrak{a}^{\max(0,k-n(i))}$ .]

[9 de julio de 2015. El número entero $d(M)$ (y en particular $d(A)$ ) se define en la página 117 después de la demostración del teorema 11.1. Otra definición de $d(A)$ se da en la p. 119 después de la prueba de la Proposición 11.6 a través de la igualdad $d(A)=d(G_{\mathfrak m}(A))$ . Pero el antiguo significado de $d(?)$ se utiliza de nuevo en la demostración de la Proposición 11.20 p. 122, donde la expresión $d(G_{\mathfrak q}(A))$ se produce al principio de la última visualización. Para evitar cualquier confusión, permítame denotar por $D(M)$ el número entero dado por la primera definición, y establecer $d(A):=D(G_{\mathfrak m}(A))$ .

Me parece que la prueba de la Proposición 11.3 p. 118 no es del todo correcta. Sugiero mantener la prueba, pero debilitar ligeramente la afirmación, siendo la nueva afirmación: Si $P(M/xM,t)\neq0$ y $D(M/xM)\ge1$ entonces $P(M,t)\neq0$ y $D(M/xM)=D(M)-1$ .

Esta nueva afirmación se aplica a la primera igualdad de la última pantalla de la prueba de la Proposición 11.20 p. 122 si $d:=\dim A\ge1$ (el caso $d=0$ siendo trivial). - En la tercera línea de la prueba $\mathfrak q$ debe ser $\mathfrak q^2$ .]

Answer 3

En la página 8, la prueba de la parte ii de la Proposición 1.11 comienza "Supongamos $\mathfrak{p}\not\subseteq\mathfrak{a}_i$ para todos $i$ ." Debe ser $\not\supseteq$ .

Answer 4

En la página 29, el ejemplo de la parte superior tiene dos errores tipográficos: dice " $(x)=2x$ ", cuando debería ser " $f(x)=2x$ ", y la secuencia exacta al final de esa misma línea dice " $0\rightarrow\mathbb{Z}\otimes \stackrel{f\otimes 1}{\longrightarrow} \mathbb{Z}\otimes N$ ", cuando debería ser

" $0\rightarrow\mathbb{Z}\otimes N\stackrel{f\otimes 1}{\longrightarrow} \mathbb{Z}\otimes N$ ".

Answer 5

En la página 55, el ejercicio 4.2 dice "Si $\mathfrak a = r(\mathfrak a)$ entonces $\mathfrak a$ no tiene ideales primos incrustados". Creo que debería incluir la suposición de que $\mathfrak a$ es descomponible.

A-M define primos incrustados sólo para ideales descomponibles. Y no parece que un ideal radical deba ser automáticamente descomponible. Si se toma algo como un anillo reducido (no etéreo) con infinitos ideales primos mínimos, supongo que el ideal cero será radical pero no descomponible...