¿Es $$ \sum_{n=0}^\infty {x^n \over \sqrt{n!}} > 0 $$ para todo $x$ real? (Creo que sí.) Si es así, ¿cómo se podría demostrar esto? (Para confirmar: Esta es la serie de potencias para $e^x$, excepto que el denominador está reemplazado por $\sqrt{n!}$.)
Parece que las computadoras realmente nos mimaron :)
GH ya dio una respuesta perfectamente válida, pero la forma más barata de demostrar la positividad es escribir $\int_0^1(1-t^n)\log(\frac 1t)^{-3/2}\,\frac{dt}t=c\sqrt n$ con algún $c$ positivo (solo hay que tener en cuenta que la integral converge y el integrando es positivo, y hacer el cambio de variable $t^n\to t$). Por lo tanto, $\int_0^1(f(x)-f(xt))\log(\frac 1t)^{-3/2}\,\frac{dt}t=cxf(x)$. Si $x$ es la mayor raíz de $f$ (que debe ser negativa), entonces al sustituirla, obtenemos $0$ a la derecha y un número negativo a la izquierda, lo cual es una clara contradicción. Por lo tanto, cruzar el eje $x$ es imposible. Por supuesto, no hay nada sagrado en $1/2$. Cualquier potencia entre $0$ y $1$ funciona igual de bien.
Fedja, gracias. Porque $ d e^x / dx = e^x $, puedes mostrar que $ e^x $ es positivo preguntando qué sucedería en un cruce por cero. He intentado (sin éxito) analizar $ f'(x) $ con la esperanza de hacer algo similar. Tu demostración me parece tener el mismo sabor que ese tipo de manipulación. ¿Podrías ofrecer alguna motivación de cómo se te ocurrió tu "operador" integral?
La respuesta afirmativa se deriva de mi respuesta a esta pregunta relacionada.
EDICIÓN. Noam Elkies dio un argumento más elegante y general aquí.
Aquí hay otra respuesta no. En "Métodos Asintóticos en Análisis", en el capítulo 6, de Bruijn demuestra que $$S(s,n)=\frac{2}{\pi}\Gamma(s)(2ns\log 2n)^{-s}\left(\sin(\pi s)+O\left((\log n)^{-1}\right)\right)$$ donde $$S(s,n)= \sum_{k=0}^{2n} (-1)^k \binom{2n}{k}^s$$ para todo $0\le s\le\frac{3}{2}$. Así que al menos esto explica las cosas asintóticamente.
Datos adicionales para las gráficas de Liviu. Usé Pari/GP con una precisión decimal de 1200 dígitos, documentando también el número de términos requeridos después de los cuales los valores absolutos de los sumandos de la serie disminuyen por debajo de 1e-100. No parece haber un mínimo local...
$\small \begin{array}{rl|r} & & \text{# de términos}\\ x & f(x) & \text{ requeridos} \\ \hline \\ -1 & 0.438599896749 & 201 \\ -2 & 0.247539616819 & 201 \\ -3 & 0.162554775870 & 211 \\ -4 & 0.117399404501 & 257 \\ -5 & 0.0903120618145 & 304 \\ -6 & 0.0726061182760 & 354 \\ -7 & 0.0602796213492 & 407 \\ -8 & 0.0512783927864 & 464 \\ -9 & 0.0444561508357 & 525 \\ -10 & 0.0391295513879 & 589 \\ -11 & 0.0348689168813 & 658 \\ -12 & 0.0313919770798 & 730 \\ -13 & 0.0285063993737 & 808 \\ -14 & 0.0260770215882 & 889 \\ -15 & 0.0240063146159 & 976 \\ -16 & 0.0222222780410 & 1067 \\ -17 & 0.0206706877888 & 1162 \\ -18 & 0.0193099849974 & 1263 \\ -19 & 0.0181078191003 & 1369 \\ -20 & 0.0170386561852 & 1479 \\ -21 & 0.0160820905671 & 1595 \\ -22 & 0.0152216309789 & 1715 \\ -23 & 0.0144438135509 & 1841 \\ -24 & 0.0137375438980 & 1972 \\ -25 & 0.0130936024884 & 2108 \\ -26 & 0.0125042681404 & 2250 \\ -27 & 0.0119630281606 & 2396 \\ -28 & 0.0114643528377 & 2548 \\ -29 & 0.0110035182996 & 2705 \\ -30 & 0.0105764661081 & 2867 \\ -31 & 0.0101796910429 & 3035 \\ -32 & 0.00981015071575 & 3208 \\ -33 & 0.00946519223932 & 3386 \\ -34 & 0.00914249232841 & 3569 \\ -35 & 0.00884000806032 & 3758 \\ -36 & 0.00855593615550 & 3953 \\ -37 & 0.00828867911422 & 4152 \\ -38 & 0.00803681690505 & 4357 \\ -39 & 0.00779908317617 & 4567 \\ -40 & 0.00757434517200 & 4783 \\ -41 & 0.00736158670179 & 5004 \\ -42 & 0.00715989363457 & 5231 \\ -43 & 0.00696844149585 & 5462 \\ -44 & 0.00678648482039 & 5700 \\ -45 & 0.00661334797911 & 5942 \\ -46 & 0.00644841724806 & 6190 \\ -47 & 0.00629113392871 & 6444 \\ -48 & 0.00614098836080 & 6703 \\ -49 & 0.00599751469633 & 6967 \\ -50 & 0.00586028632445 & 7236 \\ -51 & 0.00572891185489 & 7511 \\ -52 & 0.00560303158255 & 7792 \\ -53 & 0.00548231436720 & 8078 \\ -54 & 0.00536645487311 & 8369 \\ -55 & 0.00525517112099 & 8666 \\ -56 & 0.00514820231209 & 8968 \\ -57 & 0.00504530688991 & 9275 \\ -58 & 0.00494626080983 & 9588 \\ -59 & 0.00485085599129 & 9907 \\ -60 & 0.00475889893049 & 10230 \\ -61 & 0.00467020945455 & 10560 \\ -62 & 0.00458461960073 & 10894 \\ -63 & 0.00450197260623 & 11234 \\ -64 & 0.00442212199624 & 11580 \\ -65 & 0.00434493075923 & 11931 \\ -66 & 0.00427027059992 & 12287 \\ -67 & 0.00419802126157 & 12649 \\ -68 & 0.00412806991028 & 13016 \\ -69 & 0.00406031057475 & 13388 \\ -70 & 0.00399464363573 & 13766 \end{array} $
Gracias por la tabla. Después de escribir que había un mínimo, hice algunos cálculos adicionales y me di cuenta de que estaba equivocado. Tu tabla sugiere que la pregunta está lejos de ser trivial.
Nuevamente observe la asombrosa cancelación. Para calcular ese término 70, el término más grande en la suma es $(70)^{70^2}/\sqrt{(70)^2!} \approx e^{70^2/2}$.
Este comentario sirve para registrar un intento parcial, que no llegó muy lejos pero podría ser útil para otros. Siguiendo una sugerencia de Mark Wildon y Arthur B, definimos $$f_n(\alpha) := \sum (-1)^r \binom{n}{r}^{\alpha}.$$ Esto es cero para $n$ impar, por lo que asumiremos que $n$ es par a partir de ahora.
Mark Wildon muestra que sería suficiente demostrar que $f_n(1/2) \geq 0$ para todo $n$. Es fácil ver que $f_n(0) = 1$ y $f_n(1)=0$. Arthur B nota que, experimentalmente, $f_n(\alpha)$ parece estar disminuyendo en el intervalo $[0,1]$. Si pudiéramos demostrar que $f_n$ está disminuyendo, eso por supuesto mostraría que $f_n(1/2) > f_n(1) =0$.
Se me ocurrió dividir este problema en dos partes, cada una de las cuales parece estar respaldada por datos numéricos:
1. Demostrar que $f_n$ es convexo en $[0,1].
2. Demostrar que $f'_n(1) < 0.
Si establecemos ambas, entonces claramente $f_n$ está disminuyendo.
No he hecho progreso en la parte 1, pero aquí hay gran parte de una prueba para la parte 2. Tenemos $$f'_n(1) = \sum (-1)^r \binom{n}{r} \log \binom{n}{r} = \sum (-1)^r \binom{n}{r} \left( \log(n!) - \log r!- \log (n-r)! \right)$$ $$=-2 \sum (-1)^r \binom{n}{r} \left( \log(1) + \log(2) + \cdots + \log (r) \right)$$ $$=-2 \sum (-1)^r \binom{n-1}{r} \log r.$$ En la primera línea, combinamos los términos de $r!$ y $(n-r)!$ (usando que $n$ es par); en la segunda, tomamos diferencias parciales una vez.
Esta última suma se evalúa asintóticamente en este hilo de matemáticas SE. El término principal es $\log \log n$, por lo que la suma es positiva para $n$ grande, y $f'_n$ es negativa, como se quería. La única brecha en este argumento es que el hilo de matemáticas SE no da límites explícitos, por lo que esta prueba podría ser válida solo para $n$ suficientemente grande.
Esta respuesta se vuelve mucho más interesante si alguien puede resolver esa afirmación de convivencia.
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No se puede discutir a partir de la exponencial. Este cambio de reemplazo lo cambia todo. En su lugar, use un software para trazar la función; entonces podrá adivinar algo.
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No sé por qué la gente está votando para cerrar esto. Me interesaría aprender sobre métodos que podrían usarse para demostrar que una función entera, dada por una serie de potencias convergente, no tiene ceros reales, así que me gustaría que esta pregunta permaneciera abierta.
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Si tu serie tiene una raíz real $\rho$ entonces todos los polinomios $\sum_{n=0}^{2k+1}x^n/\sqrt{n!}$ tienen una raíz en el intervalo $(\rho,0)$ para $k>\rho^2/2$.
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Estoy completamente de acuerdo con @David.
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Por otro lado, sería bueno si el OP proporcionara alguna evidencia de por qué esto podría ser cierto.
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Voté para cerrar porque la pregunta no está motivada. La función parece ser monótona y tener un límite positivo cuando $x\to -\infty$.
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@Mark: Creo que esta fue la motivación del autor original (por supuesto, no puedo hablar por él/ella), y quitar el "parece" sería la parte interesante.
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@Igor: La pregunta tiene infinitas modificaciones igualmente interesantes. ¿Por qué a OP le interesa $\sqrt(n!)$ y no $(n!)^{1/3}$? La pregunta de David Speyer arriba tiene mucho más sentido, pero es una pregunta diferente.
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$1/\sqrt{n!}$ para el valor absoluto de los coeficientes es una elección interesante para polinomios aleatorios (llamados polinomios de Weyl), sus raíces están distribuidas de manera aproximadamente uniforme en un disco grande.
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Esto está muy lejos de ser una solución, pero podría ser de interés. Deja que $F(x) = \sum_{n=0}^\infty x^n/\sqrt{n!}$ y deja que $H(x) = F(x)F(-x)$. Entonces $H(x) = \sum_{n=0}^\infty c_nx^n/\sqrt{n!}$ donde $c_n = \sum_{r=0}^n (-1)^r \sqrt{\binom{n}{r}}$. Es claro que $c_n = 0$ si $n$ es impar, y sería suficiente probar que $c_n > 0$ si $n$ es par, ya que entonces $F(-x) = H(x)/F(x)$ es una función positiva. He verificado que esto es cierto para $n \le 100$.
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Llama a la función en discusión $\small exph(x)$ luego el inverso de $\small logh(1+x)= inversa(exph(x)-1)$. La serie de Taylor para $\small logh$ puede ser instructiva para la pregunta, si $\small logh(0+\epsilon) \to -\infty$ para $\small \epsilon \to +0$.
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Realmente no veo pistas para la solución de la pregunta actual, pero para los interesados, puede verse una pregunta relacionada en math.stackexchange.com/questions/26425
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@Roland: Tu explicación para $\sqrt{n!}$ haría que la pregunta sea mucho mejor.
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@Mark Wildon: Algo está mal. Maple dice que para $n=66$ tu suma $c_n$ es alrededor de $-15$.
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@Mark Sapir: ¿Podrías por favor verificar que Maple esté utilizando la suficiente precisión interna? Verifiqué con Mathematica y Magma y concuerdan en que $c_{66} = 0.099654081141578677146$ hasta 20 decimales.
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@Mark Wildon: Tienes razón, con una precisión de $10^{-40}$, todos los $c_n$, $n\le 200$, son positivos (la precisión de 20 no es suficiente para $n\ge 108$).
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Maple concuerda $c_{66} = 0.099654\dots$
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@Mark Sapir: "¿qué tiene de especial la raíz cuadrada" es una pregunta válida, y estoy de acuerdo en que el OP debería explicar por qué hace la pregunta.
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@Igor: No tengo evidencia convincente de que esta conjetura sea cierta (aunque creo que lo es). Mi mejor evidencia es la experimentación numérica directa. Además, la intuición me lleva a pensar que es cierto y cuando me quedo atascado tratando de probarlo es porque "este paso intermedio no parece ayudar mucho", en lugar de "este paso intermedio parece no ser verdadero".
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@Mark: Sí, no tengo ninguna razón para creer que $\sqrt{n!}$ sea diferente a $(n!)^\alpha$, donde $0 < \alpha < 1$ (aunque, hipotéticamente, $\alpha = {1 \over 2}$ podría ser un caso especial más fácil).
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@Gottfried: Gracias por señalar la pregunta relacionada en math.stackexchange (mirando a $(n!)^\alpha$ para $\alpha \approx 2 > 1). No me di cuenta de que había una conexión con las funciones de Bessel.
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Entre otros experimentos, intenté calcular esta función con un número negativo lo suficientemente grande $x=-2000$; después de calcular la suma de los primeros $10^7$ términos en la serie de potencias, obtuve un valor $\approx 3.6132257... \times 10^{868571}$. Esto me lleva a creer que la función podría ser positiva. Sin embargo, sin un análisis asintótico más cuidadoso, no puedo decir más.
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@Mark Wildon: Revisé hasta 1000. Los números $c_{2k}$ están disminuyendo lentamente manteniéndose positivos. Digamos, $c_{1000}=.01988031033713112805873543299436989059...$. Parece que acabas de descubrir una nueva propiedad de los coeficientes binomiales.
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@Mark Wildon Realmente deberías publicar esa observación como una pregunta separada, porque es absolutamente sorprendente que funcione. El término más grande en la suma que define $c_{1000}$ es aproximadamente $1.4 \times 10^{300}$. El hecho de que obtengas una cancelación tan buena para obtener una respuesta cercana a $0.02$ me parece un milagro. Por supuesto, $\sum (-1)^r \binom{n}{r}$ tiene términos aún más grandes cancelándose, pero eso es por una muy buena razón; no puedo ver ninguna razón para que tu suma sea tan pequeña.
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Parece que $\forall \alpha \in [0,1]$ $\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k}^{\alpha} \in [0,1]$
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@Arthur B: Sí, es igual a 0 para $\alpha=1$ y parece estar aumentando con $\alpha$ disminuyendo a $0$. Tal vez sea posible demostrar que la derivada con respecto a $\alpha$ es negativa.
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Para $\alpha=0$, la suma es 1. Por lo tanto, la suma $\sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k}^\alpha$ disminuye monótonamente de 1 a 0.
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@David Speyer: Como se sugirió, he publicado una nueva pregunta sobre el comportamiento de la suma alternante.
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Estoy de acuerdo en que esta pregunta no debería ser cerrada. Si se cierra, haré todo lo posible para volver a abrirla.
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La respuesta a tu pregunta es afirmativa, lee mi respuesta a continuación.
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@Mark Sapir. Esto es muy motivado. Hay muchos problemas en la investigación matemática que se reducen a una función específica siendo positiva o creciente o convexa o donde sea.
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@DanielParry la pregunta ahora sería si hay alguna que se reduce a esta función específica siendo positiva, que fue sobre el punto hecho por Mark Sapir si entendí correctamente. Pero por qué reiniciar ese debate de hace casi cuatro años.