¿Por qué enseñamos a los estudiantes de cálculo la derivada como límite?

Question

Yo no soy de la enseñanza de cálculo ahora mismo, pero puedo hablar con alguien que lo hace, y la pregunta es ¿por qué enfatizar la $h \to 0$ definición de derivada para el cálculo de los estudiantes?

Algo de lo que un maestro puede hacer es preguntar a los estudiantes a calcular la derivada de una función como $3x^2$ utilizando esta definición en un examen, pero me pregunto cuál es el punto de hacer algo como lo que es. Una vez que uno ve a la definición y aprende las reglas básicas, que, básicamente, se puede calcular la derivada de una gran cantidad razonable de las funciones rápidamente. Traté de darle la vuelta y pregunto si hay buenos ejemplos de una función (que calculo los estudiantes a comprender), en donde no existe ya un sistema bien establecido de la regla para tomar la derivada. La mejor que se me ocurrió es una función definida a trozos, pero eso no es bueno en absoluto.

Más concretamente, esta pregunta surgió porque cuando tratando de llegar a los estudiantes a hacer esto, que más bien parecía impaciente (y tal vez enojado?) por qué no se podía utilizar el "acceso directo" (que aprendieron de amigos o lo que sea).

Entonces, he aquí una pregunta:

Qué beneficio hay en enfatizando (o incluso la introducción) para el cálculo de estudiantes de la $h \to 0$ definición de un derivado (suponiendo que hay una manera mejor de hacer esto?) y en segundo lugar, ¿hay alguien ahí fuera en realidad el uso de esta definición para calcular una derivada que no podía ser obtenida por un conocido simbólico de la regla? Prefiero una función cuya definición podría ser entendido por un estudiante de primer año de cálculo.

No estoy tratando de decir que esto es malo (o bueno), yo no podía venir con buenas razones de una u otra manera a mí mismo.

EDIT: agradezco todas las respuestas, pero creo que mi pregunta se plantea es demasiado vaga. Yo estaba preocupado por ser demasiado específico, así que permítanme simplemente decirles que el contexto y pedimos disculpas por la confusión del debate. Esto es acerca de la enseñanza del primer semestre de cálculo para los estudiantes directamente de la escuela secundaria en los estados unidos, la mayoría de los cuales ya han participado en un curso de cálculo en la escuela secundaria (y no hacer bien o volver a tomar por el motivo que sea). Estos son en su mayoría los estudiantes que no tienen interés en las matemáticas (la causa de esto es una discusión diferente, supongo) y habitualmente son sólo la adopción de cálculo para el cumplimiento de algunas de la universidad requisito. Así que su punto de vista del instructor, tratando de llegar a aprender a calcular los derivados de la definición en una tarea o en un examen es que ellos sólo están haciendo ellos aprender algo de tiempo, de manera arbitraria de algo que ya tienen mejores herramientas para.

Pido disculpas, pero la verdad no me acepta la respuesta de "enseñamos el límite de la definición porque necesitamos una definición y que cómo hacemos las matemáticas". Sé que estoy siendo injusto en mi paráfrasis, y NO estoy tratando de decir que no debemos enseñar definiciones. Yo estaba tratando de entender cómo las respuestas de los estudiantes común de la pregunta: "¿por Qué no podemos hacerlo de la manera más fácil?" (y esta fue una respuesta abrumadora en un reciente mini-evaluación que se les da). Me gusta la respuesta de $\exp(-1/x^2)$ para el propósito de esta pregunta, sin embargo.

Es difícil conseguir que los estudiantes tomen en serio cuando piensan que sólo está interesado en hacer saltar a través de aros. Como un ejemplo extremo, recuerdo que como estudiante de pregrado, algunos de mis amigos que se llevó el primer año de cálculo (dependiendo del instructor) recibieron un examen oral al final del semestre en el que se tendría que dar una prueba de uno de los 10 preseleccionados teoremas de la clase. Esto parecía completamente inútil para mí y que sólo serviría para aislar aún más a los estudiantes de estar interesado en las matemáticas, así que ¿por qué son cosas como esta hecho?

De todos modos, lo siento por perder un montón de tiempo con mi mal formulada la pregunta. Sé MathOverflow no es un lugar para el debate, y no quiero que esto degenere en uno, así que lo siento de nuevo y voy a aceptar una respuesta (a pesar de que había muchos buenos abordando los diferentes puntos).

Answer 1

Esta es una buena pregunta, dada la forma de cálculo es actualmente enseña, que para mí dice más sobre el triste estado de la educación matemática, en lugar de que el material en sí mismo. Todos los cálculos de los libros de texto y los profesores afirman que ellos están tratando de enseñar lo que el cálculo es y cómo usarlo. Sin embargo, al final la mayoría de los exámenes de la prueba, principalmente para la capacidad de los estudiantes a su vez un problema de palabras en una fórmula y encontrar la derivada simbólica para que la leche de fórmula. Así que no es de extrañar que prácticamente todos los estudiantes y no pocos profesores creen que el cálculo significa simbólico de la diferenciación y la integración.

Mi punto de vista es casi exactamente lo contrario. Me gustaría ver a la manipulación simbólica desterrado de, digamos, el primer semestre de cálculo. En lugar de eso, me gustaría ver el primer semestre se centró exclusivamente en lo que la derivada y de la integral definida (no la integral indefinida) son y lo que son útiles para. Si usted no está seguro de cómo esto es posible sin todas las reglas de la diferenciación y anti diferenciación, le sugiero que eche un vistazo a la infame "Harvard Cálculo" libro de texto por Hughes-Hallett et al. Esto para mí y a pesar de todo el escándalo que se creó es por lejos el mejor modernos de cálculo del libro de texto por ahí, porque de hecho se trata de enseñar a los estudiantes de cálculo como una herramienta útil en lugar de un conjunto de misteriosas reglas que milagrosamente resolver una lata conjunto de problemas.

También me disgusta la introducción de la definición de un derivado utilizando el estándar de matemáticas de la terminología como "límite" y la notación como $h\rightarrow 0$. Otro de los logros de la universidad de Harvard Cálculo libro que iba a escribir un libro de matemáticas en la llanura inglés. Por supuesto, esto condujo a una severa crítica de que era demasiado "cálida y difusa", pero estoy totalmente en desacuerdo.

Tal vez el más importante descubrimiento de que el Cálculo de Harvard equipo que tenía era que la razón clave por la que los estudiantes no entienden el cálculo es porque ellos realmente no saben lo que es una función de. La mayoría de los estudiantes creen que una función es una fórmula y nada más. Ahora les digo a mis estudiantes para que se olvide de todo lo que se dijo acerca de las funciones y decirles recordemos que una función es un cuadro, donde si que se alimentan de entrada (en el cálculo será un único número), va a escupir una salida (en el cálculo será un único número).

Por último, (que yo pueda escribir sobre este tema por un largo tiempo. Si por alguna razón usted desea leer de mí, sólo de google mi nombre con "el cálculo") no me gusta la palabra "derivados", que proporciona ningún indicio de lo que es un derivado. Mi sugerencia de reemplazo nombre es "la sensibilidad". La derivada mide la sensibilidad de una función. En particular, mide el grado de sensibilidad de salida es a pequeños cambios en la entrada. Está dada por la relación, donde el denominador es el cambio en la entrada y el numerador es la inducida por el cambio en la salida. Con esta definición, no es difícil mostrar a los estudiantes por qué a sabiendas de la derivada puede ser muy útil en muchos contextos diferentes.

La definición de la integral definida es aún más fácil. Con estas definiciones, explicando cuál es el Teorema Fundamental del Cálculo es y por qué usted necesita es también muy fácil.

Sólo después de asegurarse de que los estudiantes realmente entender lo que las funciones, las derivadas y las integrales definidas se habría de abordar el tema de la computación simbólica. Lo que todo el mundo debe tratar de recordar es que la computación simbólica es sólo uno y no necesariamente la más importante herramienta en la disciplina de cálculo, que en sí también es simplemente una útil herramienta matemática.

AGREGÓ: "Lo que yo creo que la mayoría de los matemáticos pasar por alto es cómo un gran salto conceptual que es iniciar el estudio de las funciones (que en realidad es un proceso) como objetos matemáticos, en lugar de números. Hasta que le den su debido respeto y tomar el tiempo para guiar a sus estudiantes con cuidado a través de este salto conceptual, sus estudiantes nunca realmente apreciar cómo de potente es el cálculo que realmente es.

AÑADIDO: veo que la función de $\theta\mapsto \sin\theta$ es de ser mencionado. Me gustaría señalar una simple pregunta que muy pocos cálculo estudiantes y profesores pueden responder correctamente: Es la derivada de la función seno, donde el ángulo se mide en grados, la misma, como la derivada de la función seno, donde el ángulo se mide en radianes. En mi departamento de la audición a todos los candidatos para la enseñanza de cálculo y, a menudo esta pregunta. Para muchas personas, incluyendo algunos con Tel. D. de buenas escuelas, no podía contestar, esta bien que, incluso he intentado en un par de realmente famosos matemáticos. De nuevo, la dificultad que todos tenemos con esta pregunta es para mí una señal de lo mal que nosotros mismos aprendamos de cálculo. Sin embargo, observe que si utiliza las definiciones de función y derivada doy anteriormente, la respuesta es bastante fácil.

Answer 2

Le estoy enseñando a Calc 1 este semestre, y me he tropezado en algo que me gusta mucho.

Primero de todo, me inicio (siempre) por tener a mis alumnos que dibujen los racimos de la tangente a las líneas de los gráficos, calcular las pendientes y la "pendiente de gráficos" (también lo hacen "zona de gráficos", pero que no es relevante para esta respuesta). Construir un poco de intuición acerca de la pendiente y de la pendiente de las gráficas.

Luego (después de unos días de esto) les pido que me den instrucciones inequívocas acerca de cómo dibujar una línea tangente. Se encuentra, por supuesto, que ellos se quedan perplejos.

En el pasado, me fui de ahí a decir que "no puede obtener una línea tangente, pero tal vez podamos llegar a un aproximado de línea tangente" y desarrollar el límite de la fórmula.

Este semestre, me dijo, "tenemos una idea intuitiva de tangencia; supongamos que alguien ofrece una definición de tangencia -- ¿qué propiedades de satisfacer?" Tuvimos una discusión con el siguiente resultado: en el punto de tangencia $x = a$ debe satisfacer:

1. de tangencia (de una función con otra) debe ser una relación de equivalencia
2. si dos funciones lineales son tangentes a $x= a$, son iguales.
3. una ecuación cuadrática horizontal de la recta tangente en su vértice.
4. si $f$ e $g$ son tangentes a $x = a$,, a continuación,$f(a) = g(a)$.
5. si $f_1$ es tangente a $f_2$ a $x = a$ e $g_1$ es tangente a $g_2$ a $x = a$ a continuación, $f_1 + g_1$ es tangente a $f_2 + g_2$ a $x = a$ al igual que para los productos.
6. la regla evidente para la composición.

El uso de estas reglas, se demostró que si $f$ tiene una recta tangente en $x = a$, tiene sólo uno. Por lo que podemos definir $f'(a)$ a ser la pendiente de la línea tangente en $x = a$, si es que existe!

Los axiomas son suficientes para demostrar que el producto de la regla de la suma regla y la regla de la cadena. Así, obtenemos derivados de todos los polinomios, etc., suponiendo que sólo tangencia puede ser definido.

Entonces (los límites de haber presentado a sí mismos en el cálculo de área) he definido $f$ a ser tangente a $g$ si $\lim_{x\to a} {f(x) - g(x) \over x-a} = 0$. Sacamos el límite de la fórmula para la derivada, y comprobar los axiomas.

EDIT: he Aquí algo más de detalle, en caso de que usted se está preguntando acerca de la implementación de este mismo. Tuve la discusión inicial acerca de tangencia en la clase, escribiendo en la pizarra. Un día más tarde, me entregó a cabo proyectos de grupo en la que los axiomas fueron claramente establecidos y numeradas, y las propiedades básicas (como se indica más arriba) dado problemas.

Los estudiantes impulso inicial es argumentar desde el sentido común, pero me insistió en el argumento directamente a partir de los axiomas. Hubo un día que era un poco incómodo, ya que no es muy familiar pensamiento. Yo les había trabajo en clase varios días, y, finalmente, que realmente llevó a ella.

Answer 3

Voy a contestar a esta parte:

¿alguien ahí fuera en realidad el uso de esta definición para calcular una derivada que no podía ser obtenida por un conocido simbólico de la regla?

Sí. $sin(x)$.

Mi punto es que por supuesto que podemos aprender sólo la derivada de esta función, pero entonces podríamos aprender la derivada de cualquier función. Así que buscando un "complicado función" que necesita el límite de la definición es inútil: sólo podríamos ampliar nuestra lista de ejemplos que incluyen esta función. Es un poco como la queja de que no hay forma cerrada para un genérico integral elíptica: todo lo que realmente significa es que nosotros no hemos dado un nombre todavía.

De hecho, uno podría hacer $x^2$ como esta, o incluso $x$, pero creo que el $sin(x)$ tiene un buen valor pedagógico. Si usted puede conseguir primero para reflexionar sobre la pregunta, "¿Qué es $sin(x)$?" entonces podría funcionar. Estoy impartiendo un curso en el momento en el que estoy tratando de hacer que mis estudiantes fuera de la "caja negra" de la mentalidad y empezar a pensar acerca de cómo se construye esas cajas negras en el primer lugar. Uno de mis puntos de partida fue "¿Qué es $sin(x)$?". O, más precisamente, "¿Qué es $sin(1)$?". Si usted toma esa pregunta, puede conducir a todo tipo de lugares interesantes: el polinomio de aproximación de funciones continuas, por ejemplo, y de allí a Weierstrass' teorema de aproximación.

Muchos estudiantes sólo quieren las reglas. Pero si los estudiantes se niegan a aprender, ese es su problema. Mi trabajo es el de proporcionarles un entorno en el que se puede aprender. Por supuesto, debería asegurarse de que lo que están tratando de aprender está dentro de su alcance, pero que tienen que elegir a su alcance. Así que no voy a darles una completa exposición sobre los profundos problemas relacionados con los axiomas de ZF si todo lo que quiero es que ellos tienen una vaga idea de un "conjunto" y una "función", pero me voy a asegurar de que lo que digo es cierto (o al menos está claramente marcado como una mentira conveniente).

He aquí una cita de Picasso (de todas las personas) en la enseñanza:

Entonces, ¿cómo usted va sobre la enseñanza de algo nuevo? Mediante la mezcla de lo que saben con lo que ellos no saben. Entonces, cuando ven vagamente en su niebla algo que reconocer, que pensar, "Ah, eso lo sé." Y es sólo un paso más para, "Ah, yo sé toda la cosa.". Y su mente empuja hacia lo desconocido y empiezan a reconocer lo que antes no sabía y aumentar su poder de comprensión.

Recordamos a todos los profesores que se olvidó de mezclar el nuevo con el viejo y presentó la nueva completamente nueva. También debemos evitar el otro extremo: el de no mezclar en cualquier cosas nuevas y simplemente presentando el viejo con un nuevo brillo de la pintura.

Answer 4

Aunque creo que lo ideal sería que, incluso en un primer curso de cálculo, los estudiantes deben recibir algunas nociones históricas sobre el desarrollo de las ideas del cálculo infinitesimal, creo que, incluso en un primer curso de cálculo, la verdadera definición de la derivada de una función debe ser dado, es decir, a través de la primer orden de aproximación. Una función de $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ es diferenciable en $x$ si existe $m$ tal que $$f(x+h)=f(x)+mh+o(h)\quad \mathrm{as}\\ \\ h\to0. $$

El hecho de que el coeficiente de $m$ (la derivada) puede ser caracterizado, y a veces de manera eficiente calculada, como un límite de un cociente, sin duda ha de ser observado, y debe ser aplicada de inmediato para el tratamiento de algunas funciones elementales como $x^2$, $1/x$ o $e^x$, como de costumbre. Pero yo nunca iba a darle una definición.

Creo que hay una cuestión filosófica que aquí. Puede parecer más simple de definir algo como el resultado de un procedimiento para recibir, en comparación con la definición a través de una propiedad característica. Pero la forma en la que sea superior, y en una distancia larga, más simple. Y en el caso de los estudiantes que van a parar allí su educación matemática, entonces, prefiero al menos ver la verdadera idea detrás de, más bien que ser capaz de calcular la derivada de $\cos(e^x)$ : cuando se que será de utilidad para ellos?

La definición de la vía de primer orden de la expansión es muy natural, y más comprensible para los estudiantes de primer año. Se tiene un contacto más directo significado geométrico. Refleja la idea física de la linealidad de incrementos pequeños (como en el de Hooke la ley de la elasticidad, etc). Es mucho más cercana a la utilización práctica de los derivados en aproximaciones. Facilita todos los teoremas elementales de cálculo (considerar cómo innecesariamente complicado se convierte en la prueba del teorema de la derivada de una composición mediante la introducción de un inútil cociente). Por último, está más cerca de la generalización a la diferencial de Fréchet, lo cual es una buena cosa para los estudiantes que estudian en la asignatura de matemáticas.

Un divertido comentario, desde mi experiencia. Pida a los estudiantes que recibieron la definición de derivada como límite del cociente incremental, para calcular el $\lim_{x\to 0 }\sin(x)/x$. Será que alguien dice, es el derivado de la $\sin(x)$ a $0$, que es $\cos(0)=1$? No, ellos van a tratar y utilizar la "regla de L'Hôpital"!

Answer 5

Estoy de acuerdo con los comentarios anteriores.

El punto de mi comentario-pregunta "¿Qué competencia definición de qué tienes en mente?" era hacer hincapié en algo que parece ser bajo-relieve en la pregunta misma: la razón por la que hablamos de los derivados de los límites es porque esa es la definición de la derivada, y queremos dar una definición del concepto que va a ser discutido durante gran parte del semestre.

[Es posible dar otras definiciones de un derivado, pero todos ellos son variaciones sobre el mismo tema y, en particular, utilizan el concepto de límite o el equivalente (!) concepto de continuidad. Por ejemplo, Caratheodory tiene una buena definición de la derivada en términos de funciones de fuga a la primera orden, pero esto no va a ser más aceptable para el primer cálculo del estudiante.]

[Añadido: tengo que admitir que me olvidé de análisis no estándar cuando escribí el párrafo anterior. Que de hecho tiene un poco diferente de la habitual límites y continuidad. Por un lado, a pesar de que yo nunca he enseñado cálculo de esta manera, dudo que hacerlo de repente se hacen los difíciles conceptos de continuidad y la diferenciabilidad ir más fácilmente. Por otro lado, yo ciertamente no podía decidir a enseñar un enfoque no estándar para el cálculo porque sería...no estándar. El plan de estudios entre las diferentes secciones, de las distintas clases y los diferentes departamentos que tiene que tener un cierto nivel mínimo de coherencia, y en el momento en que la mayoría de los estudiantes de posgrado y profesores en cada departamento de matemáticas que he visto no son lo suficientemente familiarizado con el análisis no estándar para responder a las preguntas de los estudiantes que han aprendido de cálculo por este enfoque.]

Si no le damos una definición de los conceptos más importantes en el curso, entonces perdemos toda pretensión de desarrollar las cosas en una secuencia lógica. En particular, es difícil ver cómo discutir las derivaciones de cualquiera de las reglas básicas que los estudiantes realmente va a utilizar para calcular los derivados, y por lo tanto nos vimos obligados a reducir el cálculo de un (mucho!) lista de algoritmos basados en ciertos inexplicable reglas.

Sin embargo, yo tome su pregunta en serio, ya que me han enseñado una buena cantidad de estudiante de primer año de cálculo en los últimos años. Es absolutamente correcto que una gran cantidad de estudiantes se impaciente, enojado y/o confundidos en el límite de la definición de la derivada (o en realidad, en todo lo que tenga que ver con los límites y/o continuidad). Tengo que hacer derivaciones de cosas como el producto de la regla y el poder regla más rápidamente en la clase, porque sé que algo así como la mitad de la clase no está siguiendo y no cuida a seguir. Y sin embargo, lo hacen de todos modos (no todos ellos, pero más de la mitad) porque, para mí, no para hacer de ellos hace que el curso de algo que yo no podía decidirme a enseñar (y, por cierto, la colocaría muy por debajo del nivel de la AP cálculo de clase que tuve en la escuela secundaria: me siento honorbound a dar a mi cálculo estudiantes no mucho menos de lo que fue dado a mí). Por tanto, hay una desconexión real entre la clase de cálculo que quiero enseñar y la clase de cálculo que algo así como la mitad de los estudiantes que quieren tomar. Es desalentador.

Yo sería feliz de saber que estoy haciendo una falsa dicotomía entre la necesidad de que el límite de la definición de la derivada y acaba de dar algoritmos para resolver problemas. Definitivamente voy a experimentar con diferentes tipos de explicación más allá (y en lugar de!) sólo una prueba formal. Aquí están algunas cosas que he intentado:

1) Tomar la definición de la continuidad de la primaria y de definir el límite de una función en un punto como el valor en el que se puede (re)definir la función para hacerla continua. Creo que esto debería ser útil, ya que creo que la mayoría de la gente tiene una idea intuitiva de una "continua, ininterrumpida curva", y mucho menos del límite de una función en un punto.

2) hacer Hincapié en la física de razonamiento. La última vez que me enseñó estudiante de primer año del cálculo, de la pasé todo el día hablando de velocidades: en primer lugar el promedio de la velocidad, luego la velocidad instantánea. Si una diferenciación regla tiene una plausible interpretación física-por ejemplo, la regla de la cadena dice que las tasas de cambio debe multiplicar --, a continuación, a menudo me da.

3) hacer Hincapié en la "química razonamiento", es decir, dimensiones de análisis:. A menudo me doy la variable independiente y la variable dependiente unidades y hacer hincapié en que las unidades de la derivada son diferente de las unidades de la función original. De esta manera se puede ver que la conjetura producto de la regla de $(fg)' = f'g'$ es dimensionalmente incorrecta y por lo tanto disparate. (Y de nuevo, la regla de la cadena es "evidente" de una unidad de conversión de perspectiva.) Del mismo modo el análisis dimensional debe usted dejar de decir que el volumen de un cilindro es $\pi rh$.

Por desgracia, ninguna de estas cosas han trabajado con la parte de la clase que no quiere saber nada , pero ¿cómo resolver los problemas.

Añadido: abordar más directamente su pregunta: sí, hay problemas que uno puede pedir de estudiante de primer año de cálculo a los estudiantes que los necesitan para utilizar el límite de la definición de la derivada en lugar de (sólo) la diferenciación de las reglas, pero yo no recomiendo hacer muchas de estas preguntas, ya que los estudiantes encontrar muy difícil. Un ejemplo personal: cuando yo estaba enseñando Matemáticas 1A (primer semestre de cálculo) como un estudiante de posgrado en la universidad de Harvard, tuvimos comunal exámenes pero el curso de la cabeza (que fue profesor titular de matemáticas, por lo tanto, una muy brillante persona) tenía la última palabra. En el primer examen, se decidió que una de las preguntas era demasiado difícil, así que en el último minuto el curso de la cabeza, para sustituirla por la siguiente (la que no se presentó a nosotros):

Considere la función $f(x)$ define como $x^a \sin(\frac{1}{x^2})$ para $x \neq 0$ e $f(0) = 0$. ¿Cuál es el entero más pequeño que el valor de $a$ tal que $f$ es (i) continuo, (ii) diferenciable, (iii) dos veces diferenciable?

Tuve la buena fortuna de grado este problema. De $200$ o así de los exámenes, la puntuación media fue de $0.5$ de $12$. Alrededor de tres estudiantes escribieron el derecho de respuesta numérica para la parte (iii), pero esto no fue apoyada por ningún trabajo o razonamiento alguno.

Añadido: por cierto, no es como si la pregunta anterior es "malo" en el sentido de que no es prueba de competencia matemática y la profundidad de la comprensión de cálculo. Creo que es absolutamente, sólo a un nivel que está por encima de lo que uno debe probar en un estudiante de primer año de la clase de matemáticas no majors. Para los próximos años, cuando la historia apareció en un entorno social que implican matemática hotshots, después de decirle que me gustaría de prensa, para dar una respuesta a la parte c) en el lugar. La mayoría de la gente me pidió que no lo entiendo. (Tenga en cuenta que no me gustaría por supuesto darles lápiz y un papel y un lugar tranquilo para pensar sobre el problema durante algún período de tiempo. Yo por lo general requiere una respuesta después de un minuto o así. Vamos a celebrar Doctorado matemáticos a estándares más altos que los de primer año de la no-mayores después de todo!) Por ejemplo, vi una nube de pasar más de un Medallista Fields la cara como él estaba muy confundido. Después de un rato dejé de usar esto como una prueba sorpresa además de una historia: yo no puedo explícitamente recordar por qué, pero me gustaría pensar que me di cuenta de cómo desagradable era poner a la gente en el lugar como ese...