Rayos de luz rebotando en tubos retorcidos

Question

Imaginar una curva suave $c$ barrer una unidad de radio del disco que es ortogonal a la curva en cada punto. Llame el resultado de un tubo. Quiero restringir el radio de curvatura de $c$ más 1. Estoy interesado en el comportamiento de un rayo de luz dirigido directamente hacia abajo el eje central de uno de los extremos del tubo, como que rebota con reflejo perfecto de la pared interior de la sonda. Esto podría ser visto como un modelo de una fibra óptica, aunque quiero tratar el rayo de luz como una bola de billar y no la dispersión de la onda.
            

Q1. ¿El rayo de luz que siempre emerge desde el otro extremo?

Creo que la respuesta es Sí, aunque no puede ser cerca de las llamadas:
            
Yo estaría interesado en un conciso, convincente prueba (o un contraejemplo!). Quizás debería estipular que si el rayo alcanza a un límite de la singularidad (como casi hace), muere; de lo contrario podría pasar por el centro de curvatura y reflejar a su propia inversión.

Q1 Respuesta: Sí si $c$ es $C^\infty$ (Dimitri Panov), No necesariamente si $c$ es $C^2$ (Anton Petrunin).

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He explorado un particular, máximo complicada, parecido a una serpiente tubo, compuesto de la alternancia de los semicírculos de radio 2 (por lo que el centro la curva de $c$ tiene curvatura 1):
     
El lightray se comporta aparentemente caótica, aunque cuando miro a los ángulos de los rayos hacer con el $(+x)$-eje, hay una notable distribución. Aquí es un histograma para un tubo compuesto de 1000 semicírculos:
                         

Q2. Se puede ofrecer una explicación de la distribución observada de ray orientaciones? ¿Por qué es el ángulo de $\pm 17^\circ$ tan prominente, y no hay ray ángulos cuyo valor absoluto se encuentra dentro de $[19^\circ,111^\circ]$? Hay aproximadamente 1.55 rayo rebota por semicírculo: ¿por Qué? Se esta acercando $\frac{3}{2}$? O $\frac{\pi}{2}$?

Ideas/ideas bienvenida—Gracias!

Q2 Respuesta: Dimitri Panov los comentarios y el retrato de fase muestran que probable que el radio de la trayectoria es cuasiperiódicos, lo que explica el ángulo de histograma, que es, en un sentido, una proyección de la fase de retrato.

Answer 1

Editada 1. Algunas sugerencias se añade al final relativa a la Q2.

Editado 2. Una "explicación" de los picos en $17^0$ es añadido al final de todo...

Q1 creo que la respuesta a Q1 es positivo siempre el límite de que el tubo esté suave. Voy a considerar el caso de la dimensión de $2$.

Así que, por nuestra hipótesis de que la luz se propaga en la franja delimitada por dos curvas suaves $L_+$ e $L_-$ que son equidistantes de la central de la curva de $L$ a pie $\frac{1}{2}$. Es importante que toda la tira es foliada por unidad de intervalos ortogonal a todos los tres curvas, llamamos a esta foliación $F$.

Ahora, un rayo de luz $R(t)$ que se propaga en la franja e introducir una función de $\angle(t)$ que es igual al ángulo entre el $R(t)$ y el ortogonal a $F$ en la dirección del tubo. En la entrada del tubo, el ángulo es igual a $0$.

Reivindicación 1. Para cualquier momento $t$ tenemos $\angle(t)<\frac{\pi}{2}$.

Prueba. En efecto, supongamos que en algún tiempo $\angle(t)=\frac{\pi}{2}$. Esto significa que $R(t)$ en este momento va en la dirección de la foliación $F$. Pero dado que cualquier segmento de $F$ es un periódico de rayos en la franja de gaza, $R(t)$ debe coincidir con el segmento, el cual es un absurdo. FINAL.

Así, vemos ahora que el $R(t)$ siempre se propagan en la tira en una dirección. Así que la única posibilidad de que el rayo quedarse para siempre en la franja de gaza es acumular en algún punto a un segmento $F_0$ de la foliación $F$. Permítanme explicar por qué esto es imposible. La idea principal es que esto es imposible en el caso de que la curva de $L$ es un círculo de radio $r>1$. En este caso es fácil de comprobar el estado de cuenta. La declaración del general $L$ aproximadamente de la siguiente manera por el hecho de que $L$ se puede aproximar bien por el círculo en cualquier momento.

Para explicar lo anterior en más detalles, se puede reducir la cuestión a una pregunta de billar. De hecho, en las dos dimensiones conjunto de recta dirigido segmentos que unen $L_+$ con $L_-$ hay una (parcial) de auto mapa, que consta de dos consiguiente reflejo del segmento (primero con respecto a $L_-$ entonces con respecto a la $L_+$). Todos los segmentos de $F$ son puntos fijos del mapa. Tenemos que mostrar que para $F_0$ no hay un punto que tiende a él bajo el infinito de iteraciones del mapa. Este mapa tiene tres propiedades: 1) se conserva un área de formulario 2) corrige un segmento (parametrización un de los segmentos de $F$) 3) su linealización no es idéntico en el segmento fijo.

Estas 3 propiedades son suficientes para deducir que todo lo que aproximadamente se reduce al siguiente ejercicio:

Ejercicio. Considere la posibilidad de una secuencia $a_n$, de tal manera que $a_{n+1}=a_n(1-a_n)$, con $a_0$ positivo y menor que uno . A continuación,$\sum_i a_i=\infty$.

PS. Creo que, que se puede pedir a las curvas $L_+$, $L_-$ y $L$ a ser sólo $C^3$-suave, pero la prueba utiliza el hecho de que la curvatura de $L$ es estrictamente mayor que $1$. No está claro si esta condición puede ser relajado.

Q2 es más una sugerencia que una respuesta. Pero esta sugerencia puede ser de ayuda para obtener algunas pistas para la respuesta. Yo sugeriría usted para hacer uno más de la imagen, es decir, la imagen de la Fase retrato estándar de lo que uno hace cuando se trata con una sala de billar. Así, sólo se debe considerar la trayectoria y para cada reflejo de la trayectoria de la curva superior de la parcela el punto con dos coordenadas:

(ángulo de los rayos; $x$-coordinar modulo $2$)

Si usted parcela de 1500 puntos, en cierta forma se parecen. Probablemente los puntos que va a llenar una bidimensional, pero de acuerdo con el histograma, la trayectoria de evitar una gran parte de la fase de retrato. Esto sólo refleja el hecho de que este billar no es ergodic. Creo que para entender por qué no hay radios con ángulos en $[19^0, 111^0]$ uno debe analizar el límite de la forma en que aparecerá. Este límite podría corresponder a algunos de los "cuasi-periódico" la trayectoria(s) de la sala de billar.

Más sobre Q2. Quiero añadir un par de comentarios en la Q2, que son bastante superficiales. Así, en el experimento de José vemos que con cierta probabilidad resulta que la trayectoria original es cuasi-periódica. I. e. los segmentos que constituyen la trayectoria de la tierra en un uno-dimensional de la curva en las 2 dimensiones del espacio de todos los segmentos. Este al menos se explica la aparición de picos en el primer histograma. De hecho, cuando se proyecto una medida distribuidas de manera uniforme en una curva sobre un plano a la $x$ ejes - la proyección de la medida tendrá singularidades en los puntos donde las líneas verticales $x=const$ son tangentes a la curva.

Ahora, supongo, que para responder a la pregunta uno puede, de hecho, trata de demostrar que la trayectoria inicial es cuasi-periódica. El billar es bastante simple, por supuesto, pero no sé lo difícil que será. Y antes de probar esto, usted no puede estar seguro de que la trayectoria es realmente cuasi periódico...

Answer 2

Q1. No. La proyección de los rayos a la curva de $c(t)$ tiene que ser monótona. En particular, no ray puede volver, pero algunos rayos puede permanecer en el tubo para siempre.

De la construcción. La curva y ray va a ser plana. La curva tiene contables número de leve turnes izquierda-derecha-izquierda-derecha..., por lo que el enfoque de rayos en una dirección tangente a uno de los discos. Imagine que usted vuela en el rayo y la construcción (planos) de la curva en el mismo tiempo; la curva se debe girar a la izquierda cuando el rayo va de la izquierda a la pared de la derecha y viceversa. (De esta manera el ángulo entre el rayo y el disco disminuir aproximadamente como parte integral del valor absoluto de la curvatura de la curva.) La longitud total de dicha curva puede ser hecho finito; después de que usted puede continuar por cualquier cosa que desee.

Más formalmente, deje $c(t)$ ser la curva y $r(t)$ ser el punto en la intersección de los rayos y segmentos ortogonales a $c$ a $c(t)$. Construiremos $r(t)$ e $c(t)$ simultáneamente. Por $t$, el rayo se va de pared a la derecha en la pared izquierda o viceversa. En el primer caso hacer la curvatura de $c$ a $+\varepsilon$ y en el segundo caso $-\varepsilon$. Si $t_1 < t_2 <\dots$ ser los parámetros en los que el rayo golpea la pared, entonces usted tiene algo así como $$t_{n+1}-t_n < \left(1-\frac\varepsilon7\right){\cdot}(t_{n}-t_{n-1})$$ Por lo tanto $t_n$ converge a un límite finito.

De esta manera se construye una $C^{1,1}$ curva de $c$, pero con un poco más de trabajo que usted puede hacer es $C^2$.

Comentarios. Es posible mantener la curvatue de $c$ en el ejemplo de arbitray cerca de cero. Uno puede llegar a ser dos veces diferenciable, pero parece imposible hacerla $C^{2,\varepsilon}$ cualquier $\varepsilon>0$. Dmitri respuesta da una razón de por qué.

Answer 3

Aquí está mi interpretación de la idea de Anton para capturar el rayo. Me resultó casi imposible ilustrarlo; Solo podía mostrar tres secciones del tubo, separadas por dos rotaciones, la primera en sentido antihorario y la segunda en sentido horario. (Los ángulos de giro reales que seleccioné son irrelevantes).

Answer 4

Aquí está el retrato de fase de $(\theta, x \; \mathrm{mod} \; 2)$ de los rayos que Dimitri sugerido en su respuesta a la Q2 (si he interpretado su sugerencia correctamente), el uso de la misma datos como se muestra en el histograma:
     

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Siguiente Dimitri la segunda sugerencia en los comentarios más abajo, Me tiro a la ray en un arranque aleatorio ángulo, por ejemplo:
                                      
Aquí está la fase de retratos de 20 aleatorios diferentes rayos, con inicial ángulos $\theta_0$ elegido de manera uniforme dentro de $(-\pi/2,\pi/2)$, cada uno refleja a través de un tubo de 200 semicírculos. Cada rayo de la fase de la trayectoria es de un color diferente. Los convenios son los mismos que en la fase de retrato de arriba (que corresponde a $\theta_0=0$). (Nota: El número de rayos reflexiones no es constante, sino que la longitud del tubo es fijo, y el rayo rebota hasta que sale.)
                         
Creo que algunos de los prominente bandas oscuras son causados por $\theta_0 \approx -\pi/2$, cuando el rayo esencialmente raya en semicírculo alrededor de 1 y, a continuación, se dispara casi vertical para golpear semicírculo 2 y, a continuación, de nuevo casi de la siguiente manera semicírculo 3, y así sucesivamente. Usted puede ver una sugerencia de este comportamiento en el $\theta_0=-75^\circ$ ejemplo de arriba.

Answer 5

Me gustaría añadir una pieza más de información y algunas imágenes relativas a la serpiente como el tubo. Todo esto se me comunicó por Pedro Panov.

Para analizar el movimiento de un rayo en el tubo que vamos a estudiar en lugar de que el movimiento de un rayo en el billar que se describen a continuación. Para obtener el billar del tubo uno debe cortar en el tubo de una pieza entre dos segmentos verticales de longitud 1 que pasa a través de dos vecinos de "cúspides" del tubo.

La siguiente imagen muestra una trayectoria particular en el billar.

Cada trayectoria de un rayo de luz en el interior del tubo puede ser obtenido por el "desarrollo" de la correspondiente trayectoria en el billar.

Para analizar el billar vamos a construir su fase retrato utilizando coordenadas canónicas. La primera coordenada es la distancia a lo largo de la frontera de el billar de su rincón más a un lugar donde el rayo golpea el billar de la frontera. Esta distancia se cuenta en sentido antihorario y varía de $0$ a $2+\pi$ ($2+2\pi$ es el perímetro de la sala de billar). La segunda coordenada es el coseno del ángulo entre la trayectoria del rayo reflejado y el límite de la zona de billar. Este coordinar varía de $-1$ a $1$.

La siguiente imagen muestra una trayectoria particular en el espacio de fase.

La siguiente imagen muestra el total de la fase de retrato.

Para la construcción de esta fase retrato $19$ trayectorias perpendiculares a la izquierda del segmento de billar fueron utilizados. Estas trayectorias corresponden a puntos rojos en la imagen. Después de esto $19$ trayectorias perpendiculares a la derecha del segmento, se construyeron y que corresponden a los puntos azules en esta imagen. Para obtener la imagen real de color azul y rojo puntos fueron sufrido pequeñas estocástico perturbaciones, y la perturbación de puntos rojos era un poco más grande que la perturbación de puntos azules. Como resultado podemos distinguir claramente las trayectorias que azotó a la derecha del segmento perpendicular (que son de color rojo), y podemos distinguir las trayectorias que afectó a la izquierda del segmento perpendicular (son de color azul). Por último, el central simétrica trayectorias son de color rojo-azul.