¿Qué son los "espacios perfectos"?

Question

Esta es una charla sobre la teoría de las "perfectoid espacios", que "compara los objetos en característica p con objetos característicos 0". ¿Cuáles son esos espacios, donde se puede leer acerca de ellos?

Edit: Un poco más de información se puede encontrar en Pedro Scholze del seminario de descripción y en Bhargav Bhatt's.

Edición: Pedro Scholze publicado ayer este hermoso panorama en el arxiv.

Edición: Pedro Scholze publicado hoy esta nueva encuesta en el arxiv.

Answer 1

Aquí hay un tipo de respuesta completamente diferente a esta pregunta.

Un espacio perfecto es un término de tipo PerfectoidSpace en el probador de teorema de Lean .

Aquí hay una cita del código fuente:

 structure perfectoid_ring (R : Type) [Huber_ring R] extends Tate_ring R : Prop :=
(complete  : is_complete_hausdorff R)
(uniform   : is_uniform R)
(ramified  : ∃ ϖ : pseudo_uniformizer R, ϖ^p ∣ p in Rᵒ)
(Frobenius : surjective (Frob Rᵒ∕p))

/-
CLVRS ("complete locally valued ringed space") is a category
whose objects are topological spaces with a sheaf of complete topological rings
and an equivalence class of valuation on each stalk, whose support is the unique
maximal ideal of the stalk; in Wedhorn's notes this category is called  

Answer 2

Aquí una forma mucho más elemental (y por lo tanto incompleta) de respuesta.

Un áspero definición se da en:

Lo que Es ... un Perfectoid Espacio?, por Bhargav Bhatt, Avisos de la AMS Volumen 61, Número 9, octubre 2014, pp 1082-1084

A continuación me dan un poco de motivación.

Para empezar, es evidente que existe una analogía entre el anillo de $p$-ádico enteros, $\mathbf{Z}_p$ y el anillo de formal de la serie de Taylor sobre el campo con $p$ elementos, $\mathbf{F}_p[[t]]$ (un anillo es una expresión algebraica de objeto como de los enteros: se puede sumar, restar, multiplicar, pero no se dividen). Como conjuntos, estos son, naturalmente, identificado con secuencias infinitas de números enteros mod $p$, aka $\mathbf{F}_p \cong \mathbf{Z}/(p)$. Por ejemplo, si $p = 2$, lo $\mathbf{Z}/(2) \cong \{0, 1\}$ (evens y probabilidades), la secuencia de $(1, 1, 1, \ldots)$ corresponde a la 2-ádico número $\ldots 111$, y el reconocimiento formal de la serie de $1x^0 + 1x^1 + 1x^2 + \cdots$ (aka, $1 + x + x^2 + \cdots$). En general, $p$-ádico enteros son enumerados por $a_0p^0 + a_1p^1 + a_2p^2 + \cdots$ y formal de la serie de Taylor mod $p$ por $a_0t^0 + a_1t^1 + a_2t^2 + \cdots$, por lo que estos corresponden (como conjuntos!) mediante la sustitución de $p$ por $t$ (o a la inversa).

Igual obviamente, estos son diferentes algebraicamente: $\mathbf{Z}_p$ tiene características de 0 (si usted mantenga la adición de 1 a sí mismo un número finito de veces, no volver a 0), pero $\mathbf{F}_p[[t]]$ tiene características de las $p$ (añadir de 1 a sí mismo $p$ veces y recibe 0). Ambos se obtienen como un límite inversa, respectivamente, de la $\mathbf{Z}/(p^n)$ (enteros mod $p^n$) y $\mathbf{F}_p[t]/(t^n)$ (representado por los polinomios con coeficientes de mod $p$ y un grado por debajo de lo $n$).

Estos finito de pasos son muy simples objetos que requieren sólo de primaria de matemáticas para trabajar con. Por ejemplo, $\mathbf{Z}/(2^2) \cong \{0, 1, 10, 11\}$ (base 2, por lo $\{0, 1, 2, 3\}$ base 10) y $\mathbf{F}_2[t]/(t^2) \cong \{0, 1, 0 + 1t, 1 + 1t\} = \{0, 1, t, 1 + t\}$. Usted puede jugar fácilmente con la aritmética, por ejemplo, $11 \cdot 11 = 1001 \equiv 1 \pmod{100}$ (base 10: $3^2 = 9 \equiv 1 \pmod 4$, y corresponde a $3 \equiv -1$). Del mismo modo, $(1 + t) \cdot (1 + t) = 1 + 2t + t^2 \equiv 1 \pmod{2, t^2}$.

Usted puede pensar de $\mathbf{Z}_p$ como "torcido", versión de $\mathbf{F}_p[[t]]$: en cada paso, es necesario "dar la vuelta" de un factor de $p$ más de veces para volver a 0: la característica es $p^n$, por lo que en el límite de la característica es 0, ya que se necesitaría un número infinito de pasos para llegar de nuevo a 0; mientras que para $\mathbf{F}_p[[t]]$ la $t$ significa que está creciendo de forma independiente a partir de la característica (en una dirección diferente): la característica es siempre $p$. (Olvidando la multiplicación, el aditivo grupos son, respectivamente, $\mathbf{Z}/(p^n)$ e $(\mathbf{Z}/(p))^n$: los primeros son un no-trivial grupo de extensión, mientras que el segundo es sólo un producto directo.)

Este sugerente analogía fue formalizado por Fontaine y Wintenberger en 1979, que mostró que si se expanda estos objetos algebraicos (permitir la división (por $p$ o $t$), por lo que obtener un campo, y $p$th raíces), consigue objetos cuyas simetrías son , naturalmente, identificado (el absoluto Galois grupos son naturalmente isomorfos). Para hacer la geometría mejor, usted también "rellenar los huecos" (topológicamente completa el espacio, como a partir de los racionales $\mathbf{Q}$ a los números reales $\mathbf{R}$). Así es análogo pasos de como va el anillo de enteros $\mathbf{Z}$ a el campo de los racionales $\mathbf{Q}$ el (topológicamente) campo de los números reales $\mathbf{R}$, y para el (algebraicamente) cerrado campo de los números complejos $\mathbf{C}$ incluyendo la raíz cuadrada de $-1$ (o raíz cuarta de $1$ si usted lo prefiere). (Los pasos no son exactamente el mismo: se añaden las raíces de la unidad primera, y no se toman el algebraicas de cierre, pero la misma idea.) Para un campo en el carácter $p$ tener $p$th raíces es equivalente a la $p$th potencia ($x \mapsto x^p$, también conocido como Frobenius endomorfismo) es 1-a-1 (por lo tanto un automorphism, es decir, una auto-simetría de la preservación de la estructura algebraica), que es equivalente a ser un perfecto campo, de ahí el nombre.

Volviendo a la geometría, estos dos anillos (estructuras algebraicas), o más bien los campos, corresponde geométricamente a los puntos (0-dimensional espacios, estructuras geométricas): esta es la razón por la que es "la geometría algebraica". A continuación, se define un perfectoid $K$-álgebra como una de mayores dimensiones de la analogía. Básicos de la geometría algebraica de un campo de $K$ corresponde a un punto, polinomios $K[x]$ en 1 variable para una línea, polinomios $K[x,y]$ en 2 variables a un avión, etc.; misma idea, pero más técnico.

Finalmente, un perfectoid $K$-espacio es lo que se obtiene por pegando perfectoid $K$-álgebras. Por ejemplo, en básicos de la geometría algebraica puede unir dos líneas para obtener un círculo pegando $x \mapsto 1/x$ (observe que hemos utilizado una función racional); aquí "pegar" significa "rígida geometría analítica", y es muy técnico.

Scholze el resultado clave es que estos espacios (a partir de cualquiera de $p$-adics o de formal de la serie de Taylor) también corresponden a cada uno de forma natural (las categorías se identifican y preservar la topología) ...y que esto aclara muchos de los actuales resultados y prueba nuevos.

Answer 3

video de una charla al respecto por Scholze en IAS