¿Por qué se diferencia la mecánica y el arte de la integración?

Question

Se dice a menudo que "la Diferenciación es la mecánica, la integración es el arte". Tenemos más o menos sencillas reglas en una dirección pero no en la otra (por ejemplo, producto de la regla/simple <-> integración por partes/u-sustitución/a menudo difíciles).

Hay todo tipo de anécdotas en alusión a este hecho (ver, por ejemplo, esta bueno de Feynman). Otra consecuencia de esto es que la diferenciación es bien automatizable dentro de CAS, pero la integración no es a menudo.

Mi pregunta
Sabemos que existe una profunda simetría basada en el teorema Fundamental del cálculo, sin embargo, no parece ser otra estructurales fundamentales de la asimetría. ¿Qué está pasando aquí...y por qué?

Gracias

EDITAR
Algunos peope pidió una aclaración, así que trato de darle. La principal objeción a la pregunta es que la asimetría entre los dos operaciones inversas es más la regla que la excepción en matemáticas por lo que no están muy sorprendidos por este comportamiento.

No hay ninguna duda al respecto - pero, y ese es un gran pero, siempre hay una buena razón para que este tipo de comportamiento! E. g. la multiplicación de números primos es obviamente más fácil de factoring el resultado ya que usted tiene para la prueba de los factores de hacer esto último. Aquí es comprensible cómo se define la operación original y su inversa.

Con el simbólico de la diferenciación y la integración, el caso no parece ser que clara - esta es la razón por la que hay tantas buenas discusiones que tienen lugar en este hilo (que por cierto me agrada mucho). Es esta ¿por Qué en el fondo de las cosas, estoy tratando de entender.

Gracias a todos de nuevo!

Answer 1

Uno algo relevante aquí es que usted se refiere a la diferenciación y la integración dentro de la clase de los llamados funciones elementales, las cuales están construidas de forma recursiva a partir de polinomios y complejo exponenciales y funciones logarítmicas y tomando su cierre en virtud de las operaciones aritméticas y la composición. Aquí se puede argumentar por recursión para demostrar que la derivada de una función primaria es elemental, pero el antiderivatives no podría ser de primaria. Este debe sorprender a nadie más que el hecho de que el cuadrado de un número racional es racional, pero la raíz cuadrada de un número racional puede ser irracional. (La analogía no es completamente inactivo, como se muestra por la diferencial de la teoría de Galois.)

En otras palabras, la simetría de la que te refieres es realmente basado en mucho más amplia de clases de funciones (por ejemplo, continua y continuamente diferenciable funciones), mucho más allá de la esfera de acción de la clase de funciones elementales.

Pero vamos a poner esto a un lado. La pregunta podría ser: ¿existe un procedimiento mecánico que va a decidir cuando un elemental función primaria antiderivada (y si no, prueba que antiderivada)? Hay casi una respuesta a esto, el llamado algoritmo de Risch, que creo que es una base para muchos integración simbólica de los paquetes. Pero véase en particular las cuestiones mencionadas en la sección "Decidability".

Hay otro interesante asimetría: en la lógica de primer orden, los derivados son definibles en el sentido de que, dada cierta expansión de la estructura de los números reales, digamos, por ejemplo, los números reales como un exponencial de campo, la derivada de una función definibles es de nuevo definibles por un primer orden de la fórmula. Pero en general no es puramente de primer orden de la construcción de, por ejemplo, la integral de Riemann (que implica la cuantificación de la más fina y más finas mallas). Me parece recordar que hay dificultades similares en conseguir un completamente satisfactoria de la noción de integración de forma recursiva las funciones definidas en el surreals, en parte debido a la imperfección (es decir, los muchos agujeros) en el surrealista número de línea.

Answer 2

Yo quiero probar una forma diferente de responder a la pregunta de por qué la diferenciación de alguna manera es el "principal" de la operación y anti-diferenciación de la inversión de la operación. Voy a tratar de hacerla tan elemental como sea posible.

En primer lugar, permítanme decir lo que no cuenta como una respuesta. (Esto no debería ser un nuevo aporte a la discusión -- solo haciendo mi punto de partida explícito.) No es suficiente señalar que la diferenciación obedece a que el producto y la cadena de reglas y explícita de la diferenciabilidad de 1/x (dando el cociente regla así) y que el anti-diferenciación no. De alguna manera uno quiere una respuesta que explica por qué debemos esperar que este por adelantado. Yo iba a decir algo acerca de la diferenciación tiende a simplificar funciones, pero entonces se dio cuenta de que eso no es realmente cierto: puede ser cierto para polinomios, pero hay un montón de funciones para lo cual es falso.

La pequeña sugerencia que yo quería hacer era para discretizar la pregunta y pensar acerca de la suma versus tomando la diferencia de funciones. Aquí la situación es un poco confuso, porque expresiones como $\sum_{n=1}^Nf(n)$ tienden a subir más a menudo de lo que expresiones como $f(n)-f(n-1)$. Pero olvidemos eso y pensar en qué es lo que tenemos que hacer si queremos solucionar $\sum_{n=1}^Nf(n)$ explícitamente. Generalmente tenemos que adivinar una función g y demostrar que $g(n)-g(n-1)=f(n)$ por cada $n$, del que se desprende por la inducción que $g(N)=\sum_{n=1}^Nf(n)+g(0)$. Este (el hallazgo de la función $g$) es un discreto analógica de anti-diferenciar.

Mirado de esta manera, para trabajar fuera de la suma tenemos que resolver la ecuación funcional $g(n)-g(n-1)=f(n)$ (donde se da $f$ y están obligados a resolver para $g$). Por el contrario, cuando hacemos la diferencia de la función que estamos resolviendo el de apariencia similar, pero mucho más fácil, funcional de la ecuación de $g(n)=f(n)-f(n-1)$. Es mucho más fácil debido a que la función desconocida se dedica sólo una vez: de hecho, en un sentido no hay nada que resolver, pero la experiencia muestra que, por lo general, podemos simplificar el lado derecho. Por supuesto, con la primera ecuación que no se puede simplificar el lado izquierdo en forma similar, porque no sabemos lo $g$ es.

Es un poco como la diferencia entre la solución de la ecuación de $x^2+x=10$ y la solución de la ecuación de $x=10^2+10$ (es decir, la diferencia entre el álgebra y la aritmética). Así que aquí está un sentido real, en una situación análoga, cuando una operación es directa y la otra indirecta y consiste en la solución de algo.

Answer 3

La diferenciación es inherentemente un (micro)la operación local. La integración es inherentemente un mundial.

EDIT: la razón por la localidad que ayuda con la simbólica de la diferenciación de funciones elementales (y no está presente para ayudar con la integración simbólica de las mismas funciones) es que las operaciones básicas de la aritmética utilizada para construir funciones elementales son más simples a nivel local que son a nivel mundial. En particular, la multiplicación y la división se convierten lineal en el infinitesimal de las variables,

$$ (f + df) (g + dg) \approx fg + f dg + g df$$

$$ \frac{f+df}{g+dg} \approx \frac{f}{g} + \frac{g df - f dg}{g^2},$$

líder de curso para el producto y el cociente de las reglas, que son dos de las razones principales por qué simbólica que la diferenciación es tan computable.

Tenga en cuenta que las propiedades tales como la holomorphicity, se menciona en los comentarios, no son tan locales como la diferenciación, porque para ser holomorphic en un punto, uno no sólo debe ser complejo diferenciable en un punto, pero también complejo diferenciable en un barrio alrededor de ese punto. (En la jerga del análisis microlocal, simplemente es un local de propiedad en lugar de un microlocal uno.)

Finalmente, la razón por la que la inversa de una operación local (diferenciación) es global es debido a que la diferenciación no es localmente inyectiva (constantes cero derivados). Con el fin de eliminar esta falta de inyectividad, uno necesita imponer una condición global, como una fuga en un extremo del dominio.

SEGUNDA EDICIÓN: Otra forma de ver la relación entre una localidad y computacional dificultad es la adopción de una complejidad computacional perspectiva. Un cociente de Newton, por ser local, sólo requiere O(1) las operaciones de cálculo. Por otro lado, una suma de Riemann, de ser global, requiere O(N) operaciones de cálculo, donde N es el tamaño de la partición. Esto ayuda a explicar por qué la operación anterior, se conserva la clase de primaria (o de limitada complejidad) de las funciones, mientras que el segundo no.

(Esto es solo si uno trabaja en la categoría de cálculo exacto. Si un lugar está interesado en cálculo numérico y está dispuesta a tolerar los pequeños errores, entonces la situación se invierte: integración numérica, siendo más estable que la diferenciación numérica, generalmente tiene menor complejidad gracias a herramientas como el de la cuadratura. Aquí, uno puede girar a la naturaleza global de la integración a su ventaja, al permitir que se ignoran en gran parte en pequeña escala de la estructura, asumiendo por supuesto que el integrando goza de cierta regularidad.)

Answer 4

No me atrevo a contestar de nuevo, pero estoy de acuerdo con los comentarios de Deane Yang y otros que hasta el momento las discusiones no hemos llegado al fondo de las cosas. (No es que me comprometo a tener éxito en hacerlo ahora, pero vamos a ver qué pasa.)

En pocas palabras, se podría decir que la diferenciación se logra en gran parte debido a

• La derivada es un functor.

Esa es una moderna forma de enunciar la regla de la cadena. Una manera de hacer esto es preciso mediante la definición de la derivada como un functor de la categoría de punta suave colectores a la categoría de espacios vectoriales, teniendo en $f: (M, x) \to (N, y)$ el lineal mapa de $Df_x: T_x M \to T_y N$ entre la tangente espacios. La regla de la cadena para el buen mapas es exactamente la afirmación de que $D$ es functorial.

Mejor aún, es un producto de la preservación de functor. Esto es bueno porque te permite llegar a los derivados de otras operaciones algebraicas; por ejemplo, el producto de dos funciones de $f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es un compuesto

$$\mathbb{R} \stackrel{\Delta}{\to} \mathbb{R} \times \mathbb{R} \stackrel{f \times g}{\to} \mathbb{R} \times \mathbb{R} \stackrel{\text{mult}}{\to} \mathbb{R}$$

y así derivar el producto de la regla, sólo tienes que saber cómo tomar la derivada de que el último mapa de $\text{mult}$, y el producto de la preservación de functoriality puede tomar el cuidado de los demás.

Aviso por el modo en que este punto de vista mallas muy bien con la forma de Terry Tao hincapié en los aspectos locales de la diferenciación, en la actualidad, la localidad fue manejado por el trabajo con punta de colectores. Uno puede tomar esto un poco más lejos y afirman "moralmente" que la derivada functor es representado por un objeto local (es decir, un objeto con un punto), a veces llamado "the walking vector tangente". Esto sería algo como

$$T = Spec(\mathbb{R}[x]/(x^2))$$

de modo que la tangente paquete de un colector $M$ es el colector de fluido de mapas de $T \to M$. Baste decir que todo esto puede ser efectivamente formalizada en el sintético de la geometría diferencial (SDG), donde, de hecho, la categoría de colectores puede estar plenamente integrados en un suave topos $\mathcal{T}$, y el derivado functor se convierte en una interna hom-functor

$$(-)^T: \mathcal{T} \to \mathcal{T}$$

Así que en resumen, la derivada functor es representado por un objeto local, y esta representatividad puede ser considerado como "explicar" el producto de la preservación de functoriality (en la medida de lo representable functors preservar los productos).

Todo esto es para sugerir que el lema "la integración es la inversa de la diferenciación" podría ser la adopción de una muy engañosamente visión estrecha de lo que la diferenciación es. En el contexto actual, creo que estamos considerando principalmente el caso de funciones con valores en un intervalo, pero esto oculta el hecho de que la derivada es algo mucho más general y functorial y representable en una categoría mayor.

Estoy teniendo un tiempo difícil la comprensión de la integración en nada de estos términos, así que estoy pensando que esto podría ser sugerente de lo que está pasando aquí.

Answer 5

(He dividido esta fuera de mi respuesta original, ya que no está relacionado con la respuesta.)

Un recuento (o entropía) argumento también puede ser usado para indicar de forma heurística ¿por qué invertir diferenciación no debe ser fácil. Uno puede verificar empíricamente que si uno se diferencia de la primaria función de la complejidad de N (es decir, se toma N símbolos matemáticos para describirlo), por lo general se obtiene de una escuela primaria de la función de complejidad mayor que N. (Polinomios son una excepción a esta regla, pero son prácticamente la única excepción. No por casualidad, los polinomios son uno de los raros subclases de funciones elementales para que la integración es fácil.) Si la diferenciación se invertible dentro de la clase de funciones elementales, esto sugeriría que si uno integrado un típico primaria función de la complejidad en la mayoría de N, se debe obtener de una escuela primaria en función de la complejidad estrictamente menor que N. (Esto es, lamentablemente, no un riguroso implicación, porque la noción de "típico" no tiene que ser conservado por la diferenciación o integración, pero vamos a suspender este problema por el bien de la heurística.) Pero hay significativamente más funciones en la clase anterior que el segundo (el número de funciones de una determinada complejidad crece exponencialmente en que la complejidad), una contradicción.

Nota a pesar de que el argumento anterior está muy lejos de ser riguroso. Hay, ciertamente, muchas de las operaciones (por ejemplo, la inversión de una gran plaza matriz) de tal manera que tanto la operación y su inversa (que, en el caso de la inversión de matrices, es en sí misma) mapa de limitada complejidad de los objetos de limitada complejidad de los objetos, y por lo general aumentan la complejidad. Sin embargo, sí sugiere que, en ausencia de cualquier razón para creer que la inversión es fácil, la suposición por defecto debería ser que la inversión es duro.