¿Cómo memorizar (comprender) el lema de Nakayama y sus corolarios?

Question

Nakayama del lema se menciona en la mayoría de los libros sobre geometría algebraica que el tratamiento de las variedades. Así que creo que Tengo de leer la formulación de este lema al menos 20 veces (y lectura de la prueba tal vez alrededor de 10 veces) en mi vida.

Pero por alguna razón yo simplemente no puede obtener este lema, es decir, tengo tendencia a olvidarse de él. La última vez que esto sucedió sólo un par de días atrás, en el libro de Shafarevich (Básicos de la geometría Algebraica en 1.5.3.) Este lema se utiliza para demostrar que para un finito mapas entre quasiprojective variedades de la imagen de un conjunto cerrado es cerrado, y de nuevo este lema sonaba como algo ajeno a mí (así que de nuevo me fui a través de la prueba del lema)...

Pregunta. Hay un camino para llegar a algunas estable comprensión de Nakayama del lema y sus corolarios? Yo sería feliz si hubo algunos intuición geométrica subyacente de este lema. O algunos geométrica ejemplo. O tal vez hay un buen artículo de este tema? Algunos mnemónico de la regla? (o uno sólo tiene que acostumbrarse a el lema?)

Answer 1

Es algo así como el teorema de la función inversa, y es por eso que es tan fuerte. Si usted tiene $n$ funciones de fuga en el origen de $k^n$ y quiero saber si dan un sistema de coordenadas local, se preguntan si sus diferenciales son independientes en el origen. O, equivalentemente, si sus diferenciales de generar el espacio cotangente en el origen. Así que en un [no necesariamente noetherian, gracias Georges!] anillo local $(\mathcal{O},\mathfrak{m})$, Nakayama del lema dice que usted puede detectar que elementos de la máxima ideal de generar ese ideal, por lo tanto, actuar como el tipo de coordinar funciones, al conocer sus diferenciales, es decir, sus residuos en el Zariski espacio cotangente $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$, de generar ese espacio lineal.

Esas versiones de la lema vinculado a casi irreconocible formas de esta simple afirmación, sino que es la forma abstracta de las matemáticas va como la conocemos. Pero la idea es la misma, tiene una hipótesis acerca de una versión truncada de su declaración, y que usted obtenga la versión más completa. El Jacobson radical de cosas que hay para disfrazar el hecho de que no dice mucho a menos que usted está en un ambiente local. I. e. en un anillo local el Jacobson radical es bastante grande y se consigue un mejor resultado. En un polinomio anillo con pequeñas Jacobson radical usted no consigue nada.

Answer 2

Nemónico:$\quad M=IM \Rightarrow m=im$

La versión de Nakayama describió: Si$I$ es un ideal arbitrario de un anillo conmutativo arbitrario$A$ y si un módulo generado finita$M$ satisface$M=IM$, entonces existe$i\in I$ tal que para todos los$m\in M$ tenemos$m=im$.
Tenga en cuenta: sin suposición noetherian ni local en$A$, ninguna suposición en$I$.

Answer 3

Es más fácil de entender para los locales de los anillos, así que vamos a $R$ ser uno con residuo de campo $k$. Nakayama del lema dice que un finitely generadas $R$-módulo es cero si y sólo si el inducido $k$-espacio vectorial es. A través de la magia de abelian categorías, esto implica que un mapa de $R$-módulos es surjective si y sólo si el inducido $k$-lineal mapa de $k$-espacios vectoriales es (aplicar el lema a su cokernel). Este dice que no puede encontrar generadores de una $R$-módulo por el levantamiento de una base de asociado de $k$-espacio vectorial (es decir, puedo probar si un mapa de $R^n \to M$ es surjective por las pruebas después de la reducción por $k$).

Hay dos maneras de ver esto: uno (algebraicamente), permite considerar una gran cantidad de $R$-módulo de declaraciones como el hecho de ser $k$-álgebra lineal declaraciones; y dos (geométricamente), que permite la transferencia de información a partir de la fibra de una gavilla en un punto del tallo en ese punto, y a partir de ahí, a un barrio.

Un ejemplo de la primera propiedad: supongamos que quiero probar el de Cayley-Hamilton teorema para una lineal endomorfismo $A$ de algunos finitely generado por $R$-módulo: de que $A$ satisface su propio polinomio característico $p_A$. Tenga en cuenta que $p_A$, como un elemento de $R[t]$, reduce correctamente cuando pasamos a $k$, por lo que el $p_A(A)$ se desvanece después de la reducción de a $k$ por la de Cayley-Hamilton teorema de espacios vectoriales. Por lo tanto, por Nakayama del lema aplicado a la imagen de $p_A(A)$, se desvanece sobre $R$ así.

Un ejemplo de la segunda propiedad: supongamos $R$ es noetherian y tengo una tv de $R$-módulo de $M$, y puedo elegir una base para su reducción a $k$, dando una presentación $R^n \to M \to 0$ (es surjective por el lema aplicado a la cokernel, como se explicó antes). Esto se convierte en una breve secuencia exacta $0 \to K \to R^n \to M \to 0$ en que $K$ es finitely generado (desde $R$ es noetherian) y desde $M$ es plana, sigue siendo exacta después de la reducción de a $k$, donde el kernel $K$ se desvanece. Conclusión: $M$ es gratuita a través de $R$. La interpretación geométrica de este es que de plano, coherente con poleas de más de un noetherian esquema (si estás leyendo Shafarevich, sus esquemas de variedades y son siempre noetherian) son vectores paquetes.

Answer 4

El Graduado de Nakayama del Lema

Mi intuición para Nakayama del lexema está arraigada en el graduado de la versión.

Graduado (Nakayama del Lema) Deje $R$ ser $\mathbb{N}$-graduada de álgebra, y deje $R_+$ ser el "irrelevante" ideal de grado positivo elementos. Deje $M$ ser un finitely generado por $\mathbb{Z}$-graduado $R$-módulo.

Si $I\subseteq R_+$, e $IM=M$ entonces $M=0$.

Me parece que esta versión del lema muy clara e intuitiva. Un finitely generadas $R$-módulo será de cero es lo suficientemente bajo grado. Si $M$ es distinto de cero, entonces habrá un grado mínimo $d$ donde $M_d\neq0$. Pero $R_+$ estrictamente aumenta grados, y por lo $(R_+ M)_d=0$, y por lo $IM\neq M$.

En el estudio de conectado gradual álgebras, el espacio vectorial $M/R_+M$ es muy útil gadget, que de una manera natural parametrizes los generadores de $M$. El graduado de Nakayama, el lema es sólo el primer paso a lo largo de esta correspondencia.

Otros Nakayama del Lemas

Si usted entiende el graduado de Nakayama del lema, la otra versión de seguir más directamente. La versión filtrada de la siguiente manera a partir de la gradual versión de pasar a los asociados gradual de álgebra.

(Filtrado Nakayama del Lema) Deje $R$ ser un descendiente filtrado de álgebra, y deje $R_1$ a ser el ideal de manera positiva elementos filtrados. Deje $M$ ser un finitely generado buena filtrada $R$-módulo, de modo que $\cap M_i=0$.

Si $I\subseteq R_1$, e $IM=M$ entonces $M=0$.

Prueba: Para ver esto, vamos a $\overline{R}:=\oplus R_i/R_{i+1}$ ser el asociado gradual de álgebra, y deje $\overline{M}:=\oplus M_i/M_{i+1}$ ser el asociado gradual (módulo de la buena condición de filtrado en $M$ es exactamente eso $\overline{M}$ es f.g.). A continuación, $I\subset R_1$ medio $\overline{I}\subset \overline{R}_+$, e $\overline{I}\overline{M}=\overline{M}$, y por lo $\overline{M}=0$. Desde $\cap M_i=0$, se deduce que el $M=0$.

El local Nakayama, el Lema es simplemente un caso especial de la versión filtrada, con el $m$-ádico de filtración.

(Local Nakayama del Lema) Deje $R$ ser un local de álgebra, y deje $m$ ser el máximo ideal. Deje $M$ ser un finitely generado por $R$-módulo.

Si $I\subseteq m$, e $IM=M$ entonces $M=0$.

Finalmente, el mundial de Nakayama del lema de la siguiente manera a partir de las locales. Esto es debido a que el Jacobson radical está contenida en la máxima ideal en cada localización, y si cada localización de $M$ es cero, $M$ es cero (uh, ¿ este segundo hecho uso Nakayama del Lema?).

(Global Nakayama del Lema) Deje $R$ ser un álgebra, y deje $J$ ser el Jacobson radical. Deje $M$ ser un finitely generado por $R$-módulo.

Si $I\subseteq J$, e $IM=M$ entonces $M=0$.

Answer 5

Para mí, el lema de Nakayama (aunque tal vez no en su forma más fuerte) simplemente dice que:

Si$\mathcal{F}$ es una envoltura coherente sobre el esquema (localmente noetherian)$X$, entonces la dimensión de la fibra de$\mathcal{F}$ en un punto cerrado$x\in X$ es igual al rango de el tallo, y una base de la fibra se eleva a un sistema de generadores del tallo.