¿Por qué estudiar álgebras de Lie?

Question

No quiero ser grosero haciendo esta pregunta, sé que la teoría de la Mentira de grupos y álgebras de Lie es muy profunda, muy estético y que tiene amplias aplicaciones en diversas áreas de las matemáticas y la física. Visité a un curso en la Mentira grupos y primaria, uno en álgebras de Lie. Pero no entiendo cómo esas teorías están siendo aplicados. En realidad ni siquiera entender la importancia de la Mentira de los grupos en la geometría diferencial.

Sé que, entre otros, de los siguientes hechos:

$1)$ Si $G$ e $H$ son dos se encuentran grupos, con $G$ simplemente conectado, y $\mathfrak{g,h}$ son de sus respectivos álgebras de Lie, entonces hay una correspondencia uno a uno entre la Mentira álgebra homomorphisms $\mathfrak{g}\rightarrow\mathfrak{h}$ y el grupo de homomorphisms $G\rightarrow H$.

$2)$ El mismo sigue siendo cierto si reemplazamos $H$ con cualquier colector $M$: cualquier Mentira álgebra homomorphism de $\mathfrak{g}$ a la Mentira de álgebra $\Gamma(TM)$ de los suaves campos vectoriales en $M$ da lugar a una acción local de $G$ a $M$.

$3)$ Bajo algunas condiciones, como (creo que) compacidad, la cohomology de $\mathfrak{g}$ es isomorfo a la real cohomology del grupo $G$. Sé que el cálculo de la cohomology de $\mathfrak{g}$ es manejable en algunos casos.

$4)$ Hay mucho que decir de la teoría de representaciones de álgebras de Lie

$5)$ Compactos conectado centerless Mentira grupos $\leftrightarrow$ complejo semisimple álgebras de Lie

¿Cómo usa la gente de la Mentira de grupos y álgebras de Lie? ¿Cuáles son las preguntas que ellos piden que se encuentran grupos o álgebras será de ninguna ayuda? Y si un aparejador lee esto, ¿cómo (si es que) hacer que el uso de la Mentira de la teoría? ¿Cómo es la teoría de representaciones de álgebras de Lie útiles en geometría diferencial?

Gracias por su tiempo

Answer 1

Aquí está una breve respuesta: la Mentira de los grupos proporcionan una forma de expresar el concepto de un continuo de la familia de las simetrías de objetos geométricos. La mayoría, si no todos, de la geometría diferencial se centra alrededor de este. Por diferenciar la Mentira de la acción en grupo, se obtiene una Mentira álgebra de acción, que es una linealización de la acción del grupo. Como un objeto lineal, una Mentira álgebra es a menudo mucho más fácil de trabajar que trabajan directamente con la correspondiente Mentira grupo.

Cada vez que usted realice diferentes tipos de geometría diferencial (de Riemann, Kahler, simpléctica, etc.), siempre hay una Mentira grupo y álgebra al acecho, ya sea explícita o implícitamente.

Es posible aprender cada particular geometría específica y el trabajo con los específicos de la Mentira de grupo y álgebra sin aprender nada acerca de la teoría general. Sin embargo, puede ser extremadamente útil para conocer la teoría general y de encontrar puntos en común de las técnicas que se aplican a los diferentes tipos de estructuras geométricas.

Por otra parte, la teoría general de la Mentira de grupos y álgebras conduce a una rica variedad de importantes ejemplos explícitos de los objetos geométricos.

Considero que la Mentira de grupos y álgebras de estar cerca o en el centro de la matemática del universo y uno de los más importantes y útiles objetos matemáticos sé. Como lo que yo puedo decir, que juegan un papel central en la mayoría de los otros campos de las matemáticas y no sólo la geometría diferencial.

AÑADIDO: tengo que decir que entiendo por qué esta pregunta se necesita para que se le solicite. No creo que introducir Mentira grupos y álgebras adecuadamente a nuestros estudiantes. Ellos están ausentes de la mayoría si no todos de los cursos básicos. Excepto para el ortogonal y, posiblemente, el grupo unitario, no se menciona mucho en la geometría diferencial de los cursos. Demasiado a menudo presentados a los estudiantes en un aparte de la Mentira de grupo y curso de álgebra, donde todo se discute demasiado abstracta y aislada de otras materias para mi gusto.

Answer 2

Aquí está una manera muy elemental para crear interesantes de Riemann colectores: Vamos a $G$ ser un semi-simple Mentira grupo, vamos a $K$ ser su máxima compacto subgrupo, vamos a $\Gamma$ ser un subgrupo discreto de $G$, y la forma $G / K.$ Este cociente se denomina simétrica espacio adscrito a $G$.

El Riemanian estructura proviene de un invariante de la métrica en la $G$, y por lo $G$ actúa como isometrías en $G/K$ por la izquierda de la traducción.

Si se considera el caso $G = SL_2(\mathbb R)$, consigue $SL_2(\mathbb R)/SO(2)$, que es, naturalmente, identificado con el complejo de la mitad superior del plano (en el que $SL_2(\mathbb R)$ actúa a través de las transformaciones de Möbius; nota que el punto de $i$ es stablized precisamente por $SO(2)$), que es también el plano hiperbólico. Otros, los grupos de mayores dimensiones hiperbólicas espacios (por ejemplo, $SL_2(\mathbb C)$ da hiperbólico $3$-espacio), la Siegel mitad superior-espacios (de simpléctica grupos), complejo de bolas, y muchos otros conocidos espacios.

Si ahora tomamos un subgrupo discreto $\Gamma$ de % de$G$, puede formar el doble del cociente $\Gamma \backslash G /K$. Estos son algunos de los más célebres de Riemann colectores en matemáticas. En el caso de $SL_2(\mathbb R)$, sabemos que a través de la uniformización que todo el género $\geq 2$ de las superficies de Riemann puede ser descrito de esta manera. En el caso de $SL_2(\mathbb C)$ tenemos hiperbólico $3$-colectores, de simpléctica grupos tenemos módulos de espacios de abelian variedades, ... .

Ahora (como la anterior discusión esperemos que deja claro), muchos de estos espacios son conocidos por otros nombres que no involucra a la Mentira de la teoría, y puede ser estudiado en un no-Mentira de la teoría de la forma. Pero la Mentira perspectiva de la teoría proporciona un unificador, y con frecuencia la aclaración, punto de vista. Por ejemplo, cohomological o la función de la teoría de los invariantes de estos espacios, a menudo puede ser descrito y se calcula a través de la Mentira teórico de herramientas (por ejemplo, a través de la Mentira álgebra cohomology de ciertos unitaria de las representaciones del grupo de $G$).

Como un último comentario, permítanme señalar que un principio general es que cuando ciertas simetrías son implícito en un contexto determinado (por ejemplo, $SL_2(R)$ siendo el grupo de las isometrías hiperbólicas de la mitad superior del plano -), es bueno explícitamente traer a la palestra y tenerlos en cuenta. En geometría, la simetría de los grupos que aparecen (de un espacio, o tal vez de la universalización de la cobertura) son muy a menudo se encuentran grupos. Y así un poco de conocimiento de teoría de la Mentira se puede convertir en una poderosa herramienta para la investigación de una determinada situación geométrica.

P. S. también debo señalar que el estudio de los espacios de $\Gamma \backslash G/K$ para ciertos $\Gamma$ (el llamado de la congruencia de los subgrupos) es uno de los temas básicos del programa de Langlands, y la teoría de la función y cohomology de estos espacios (en especial la representación de la teoría de la estructura), se conjetura para gobernar una gran cantidad de teoría de los números. Tratando de entender y trabajar sobre estas conjeturas fue mi propia motivación para el aprendizaje de la teoría de la Mentira.

Answer 3

La mentira de la motivación para el estudio de la Mentira de grupos y álgebras de Lie fue la solución de ecuaciones diferenciales. Álgebras de Lie surgir como las simetrías infinitesimales de ecuaciones diferenciales, y en analogía con la de Galois de trabajo en ecuaciones polinómicas, la comprensión de tales simetrías pueden ayudar a entender las soluciones de las ecuaciones.

He encontrado una buena discusión de algunas de estas ideas en Aplicaciones de Mentira grupos de ecuaciones diferenciales por Pedro J. Olver, en Springer-Verlag GTM de la serie.

Answer 4

Me gusta Deane la respuesta, y dudo de que puedo mejorar, pero aquí es un intento. Una comprensión de partículas fundamentales es que son representaciones de la clásica Mentira grupos. Creo que es razón suficiente para su estudio. Pero más a la tierra, el círculo es uno de los mejores ejemplos de una Mentira grupo de estudio. Su Mentira el álgebra es la línea real. El mapa exponencial es, así, el mapa exponencial $e^{i \theta}.$ líneas y los Círculos son importantes. Un siguiente ejemplo sencillo es la 3-esfera ($SU(2)$) con su Mentira álgebra 3-espacio y la Mentira de soporte de dar $i,j,k$. Estos son geniales ejemplos. La teoría general también podría ser realmente genial.

Answer 5

En primer lugar - el punto 3) puede ser extendida a un (sub)clase de espacios homogéneos.

Un muy buen ejemplo de un uso de la teoría de la representación es la teoría de Hodge para Kaehler colectores de como se hace por ejemplo en los Pozos del libro análisis Diferencial en los complejos colectores. En un complejo colector tiene una muy natural noción de $(p,q)$-formas y de $\partial$ e $\overline{\partial}$ operadores. Uno puede ver esto como una descomposición de las formas exteriores y deRham diferencial en virtud de un subgrupo que conserva la estructura geométrica. Pero la historia no termina aquí - la noción esencial de la primitiva cohomology es realmente la mejor manera de pensar en términos de la teoría de la representación de $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ cuya acción sobre las formas exteriores desplazamientos con la acción de la estructura del grupo.

En este ejemplo la representación de la teoría ayuda a organizar las cosas y los cálculos y hay muchos otros similares en espíritu. E. g. ortonormales base de la armónica de funciones en la esfera compuesta de armónicos esféricos es también un ejercicio de teoría de la representación - la ventaja de este tipo de base de ser las propiedades de simetría de sus funciones.

AGREGÓ

Permítanme también intentar exapand Deane Yang respuesta y explicar la importancia de la Mentira de los grupos en la geometría diferencial. Bernhard Riemann resuelto la equivalencia del problema (es decir, la cuestión de si una esfera es localmente isométrica a plano) por el desarrollo de la geometría de Riemann y la introducción de la crucial invariante - la curvatura de Riemann. Elie Cartan desarrollado un método general para resolver este tipo de problemas de equivalencia (ver Cartan del método de equivalencia o Método de movimiento de los fotogramas en la wikipedia). La noción de Mentira que el grupo ya está explícita allí, ya que representa las simetrías de la estructura geométrica uno está interesado en. Este enfoque fue más tarde se convirtió en lo que ahora se llama la geometría de Cartan.De manera informal, estas geometrías son curvas versiones de Klein geometrías. La historia puede ser contada como este:

1) clásica de síntesis de la geometría (Euclidiana, proyectiva, la Mentira ámbito de la geometría, etc.)

2a) Riemann, la generalización de la geometría Euclidiana, la introducción de colectores

2b) Klein Erlangen programa que postula que cada tipo de geometría es determinado por un espacio homogéneo $G/H$

3) Cartan la generalización de estos espacios homogéneos en términos de $H$-principales paquetes que subsume las dos anteriores generalizaciones (Para más detalles véase el libro de Sharpe.)

Dada una estructura geométrica, a menudo es difícil teorema de que la categoría de colectores con esta estructura es isomorfo a (un cierto subcategoría de) la categoría de adecuado Cartan geometrías. Sin embargo, Cartan del enfoque le da muy general y punto de vista conceptual en geometrías como la de Riemann, de conformación, proyectiva, Kaehler, quaternionic Kaehler, hyperKaehler, póngase en contacto con-proyectiva, CR, ...

Álgebras de Lie y la teoría de la representación también aparecen, porque el espacio de la tangente a $G/H$ puede ser identificado con el homogéneos vector paquete asociado a la $G$-manifestación $\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$ (esta es una de las alineaciones gente sigue hablando). Uno puede considerar el tensor de curvatura como un elemento del producto tensor de estos y descomposición en irreductible subrepresentations, a continuación, da generalizaciones de Weyl y Ricci curvaturas de la geometría de Riemann. El operador de Dirac de la física matemática puede ser pensado como un deRham diferencial compuesto con una proyección y un entrecruzamiento del mapa entre ciertas representaciones. De hecho, incluso tales chismes Mentira álgebra cohomology jugar su papel (la palabra clave "armónico curvatura").

En el final, se ve que para entender la aparición de la Mentira de los grupos en la geometría, uno tiene que leer Klein del programa. El resto es sólo ingeniosa tecnología para permitir el nonflat cosas. ;-)