$\DeclareMathOperator{\Ext}{Ext} \newcommand{\A}{\mathcal{A}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\Sq}{\mathrm{Sq}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}$Aquí otra otro ejemplo que vale la pena considerar. El método que voy a sugerir para el cómputo de los diferenciales es mucho hairier y técnicamente más complejo que el de otros, pero es un método genérico, y es muy gratificante ver el trabajo. Inmediatamente me conviene mencionar esto que la primera vez que escuché este de la Marca de Behrens, quien a su vez dijo que él oyó desde los Micrófonos de la Colina y Hopkins. No sé si la cadena se detiene allí o si continúa en.
Tilman Bauer mencionado un buen ejemplo de una secuencia espectral, la homotopy punto fijo espectral de la secuencia derivadas de la compleja conjugación $C_2$-acción en el complejo de $K$-teoría $KU$: $$E_2^{*, *} = H^*(C_2; \pi_* KU) \Rightarrow \pi_* KU^{hC_2} \cong \pi_* KO.$$ The $E_2$ page of this is simple enough to compute; it ends up looking like $E_2 = \Z[\eta, [\beta^2]^{\pm}] / (2 \eta)$, where $[\beta^2]$ is a class in degree $(4, 0)$ coming from $\beta^2 \en \pi_* KU = \Z[\beta^\pm]$, and $\eta$ is a class in degree $(1, 1)$ coming from the nontriviality of complex conjugation on the Bott bundle $\beta$. En buena medida, aquí está una foto de este espectro de la secuencia:
![E2 of KU to KO]()
Lo que es mucho menos obvio para calcular es el primer trivial diferencial que he dibujado en: $$d_3 [\beta^2] = \eta^3.$$ The way people usually see this, as far as I've heard, is to independently identify $KU^{hC_2}$ with $KO$ y, a continuación, observe que este diferencial debe existir para que el real Bott periodicidad para ser verdad.
Pero eso no es lo que estaban pidiendo, como que usted estaba esperando para calcular los diferenciales más manualmente. Aquí está una ruta diferente a la producción de este diferencial. Como $KU$ es un anillo de espectro, viene con una unidad de mapa $\mathbb{S}^0 \to KU$, que es equivariant para el trivial $C_2$-acción en $\mathbb{S}^0$. La connaturalidad de punto fijo construcciones, a continuación, engendra un mapa espectral de secuencias $$\begin{array}{ccc} H^*(C_2; \pi_* \mathbb{S}^0) & \Rightarrow & \pi_* (\mathbb{S}^0)^{hC_2} \\ \downarrow & & \downarrow \\ H^*(C_2; \pi_* KU) & \Rightarrow & \pi_* KU^{hC_2}. \end{array}$$ This becomes useful after making an identification: $(\mathbb{S}^0)^{hC_2}$ for the trivial action is given by the function spectrum $F(BC_2{}_+, \mathbb{S}^0)$, i.e., for the Spanier-Whitehead dual spectrum $D \Sigma^\infty_+ \mathbb{R}\mathrm{P}^\infty$.
Ahora recordemos la estructura de la célula de la parte superior de bits de $D \Sigma^\infty_+ \mathbb{R}\mathrm{P}^\infty$. Esquemáticamente, esto es como $$\cdots \overbrace{\bullet - \bullet \phantom{{}-{}} \bullet} - \bullet \phantom{{}-{}} \bullet,$$ where each $\viñeta$ denotes a cell (with the rightmost one in dimension 0), each $-$ denotes the multiplication-by-2 map, and the brace denotes the element $\eta$ in the stable stem $\pi_1 \mathbb{S}^0$. This cell structure is actually what dictates the map $H^*(C_2; \pi_0 \mathbb{S}^0) \H^*(C_2; \pi_0 KU)$ in the spectral sequence: on the $E_1$-page, each cell is represented by a $\Z$ and sent isomorphically to a corresponding $\Z$ in the $E_1$-page for $\pi_* KU^{hC_2}$. The multiplication by $2$ attaching maps become $d_1$-differentials; the action of $d_1$ on the cell in dimension $-s$, corresponding to $H^s(C_2; \pi_0 \mathbb{S}^0)$, is given by multiplication by the degree of the attaching map, and what survives is sent to the elements $1$, $\beta^{-2} \eta^2$, $\beta^{-4} \eta^4$, ... in the $E_2$-page for $\pi_* KU^{hC_2}$.
El emocionante (y final) de la observación es que este mismo procedimiento se determina el $d_3$-diferencial: actúa en $H^2(C_2; \pi_0 \mathbb{S}^0)$ (es decir, el $(-2)$-celular representante) mediante la asignación a $\eta$ veces $H^4(C_2; \pi_0 \mathbb{S}^0)$ (es decir, el $(-4)$-celular representante). La idea de impulsar este en el espectro de la secuencia de $\pi_* KU^{hC_2}$ engendra el diferencial de $$d_3(\beta^{-2} \eta^2) = \beta^{-4} \eta^4 \cdot \eta = \beta^{-4} \eta^5.$$ de la Traducción de este diferencial en torno al uso de la Leibniz estructura recupera el diferencial puse al inicio.
Estos son un montón de palabras de fantasía, y probando todas las relaciones que he reclamado en esta respuesta no es una tarea fácil, pero el resultado final es muy bueno! También es una muy técnica general: el estudio de estos equivariant células en otras $G$-espectros (por ejemplo, algunas variantes de tmf) permite producir decenas de interés diferenciales de que usted no sabía antes. Este ejemplo concreto no es algo que me iba a empujar a alguien "abrir la caja negra" de la primera vez, pero tal vez el segundo o tercer centésima vez parece una muy buena idea.
En tanto, el mensaje es que la importación de los diferenciales por connaturalidad de un filtrado espectral de la secuencia que usted entiende bien es una poderosa herramienta a la hora de la filtración complejo por tu favorito espectral de la secuencia no es tan fácil de escribir o a calcular con directamente.
Piense en el ejemplo específico como algo que esperamos que después de la digestión del resto de las respuestas a esta pregunta.
