¿Qué hace especial a cuatro dimensiones?

Question

¿Conoces las propiedades que la distinguen cuatro dimensiones de los espacios entre los otros?

1. Lo que hace cuatro dimensiones topológicas colectores de especial?
2. Lo que hace cuatro dimensiones diferenciable colectores de especial?
3. Lo que hace cuatro dimensiones de Lorenz colectores de especial?
4. Lo que hace cuatro dimensiones de Riemann colectores de especial?
5. otros contextos en los que las cuatro dimensiones o $3+1$ dimensiones desempeñar una función distintiva.

Si usted siente que hay muchas particularidades, por favor, la lista de los más interesantes desde el punto de vista personal. Pueden estar interesados por qué el espacio-tiempo tiene cuatro dimensiones, pero no deben limitarse a esto.

Answer 1

El Whitney truco es un paso importante en Smale la prueba de la conjetura de Poincaré suave de los colectores de la dimensión $n\geqslant 5$. Resulta sin embargo que ese truco no funciona en la dimensión 4. Sin embargo, como se muestra por Freedman (mediante el trabajo anterior por Casson), es posible (en un sentido no trivial de la misma manera) a hacer este truco funciona para topológico de 4 colectores con el "buen" grupo fundamental. Esto explica parcialmente la notable diferencia entre topológico y suave colectores en la dimensión 4.

Como ejemplo de esta sorprendente y excepcional diferencia entre estas dos categorías, sabemos que en cada una de las dimensiones $n\neq 4$ topológico, cerrado el colector puede admitir sólo un número finito de suave estructuras. En la dimensión $n=4$ sin embargo hay 4-variedades como el $K3$ superficie o (muy recientemente) $S^2\times S^2$ que admiten infinidad de distintos suave estructuras. Como ya sabemos, que bien podría ser que cualquier cerrada smoothable 4-colector tiene infinitamente muchas estructuras diferentes!

La pregunta está abierta para, por ejemplo, $S^4$ sí, que podría tener cualquier número de diferentes diferenciable estructuras que van desde 1 a $\infty$ (extremos incluido). Por eso decimos que la Conjetura de Poincaré es cierto para topológico de 4-variedades, pero todavía está muy abierto para suavizar 4-variedades.

Answer 2

(Geometría de riemann) de Cuatro es la única dimensión de $n$ en el que el medico adjunto de la representación de SO($n$) no es irreducible. Desde el adjunto de la representación es isomorfo a la representación de 2 formas, esto significa que el paquete de 2-formas sobre una orientada al colector de Riemann se descompone en auto-dual y anti-auto-dual de las formas. 2-formas de particular importancia, ya que la curvatura de una conexión es una 2-forma. En particular, la curvatura de la de Levi-Civita de conexión es una 2-forma con valores en el paquete adjunto, por lo que tiene un 4-way descomposición en la auto-dual y anti-auto-dual piezas. Por lo tanto, hay curvatura natural en condiciones de Riemann 4-variedades que no tienen análogo en otras dimensiones (sin imponer una estructura adicional).

El impacto de la auto-dualidad incluye: propiedades especiales de Einstein métricas, de Yang-Mills conexiones, y twistor teoría de (anti-)de auto-dual de Riemann colectores.

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EDITAR

Nota también Torsten Ekedahl la respuesta a la pregunta anterior (que me perdí cuando la publicación de este): en cualquier dimensión, medio tridimensional de las formas no son irreductibles para la complexified especial ortogonal grupo. Esto explica no sólo por las características especiales de las cuatro dimensiones en la geometría de Riemann, sino también las dimensiones 2 y 6, donde 1-formas y 3 formas de jugar un papel especial. Además, de Lorenz de la geometría de cuatro dimensiones es especial porque el paquete de 2-formas tiene un complejo natural de la estructura: esta sustenta la Clasificación de Petrov spacetimes, por ejemplo

Answer 3

El Yang-Mills funcional $\int_{{\bf R}^{1+d}} F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}\ dx dt$ es adimensional (escala invariante) si y sólo si la dimensión espacio-tiempo es de cuatro. (El integrando es una función cuadrática de la curvatura, que es de dos derivados de la métrica: 2 veces 2 es igual a 4. En contraste, la de Dirichlet funcional, que implica una función cuadrática de una sola derivados en lugar de doble derivados, se vuelve crítica en dos dimensiones en lugar de cuatro, lo que explica por qué armónico de las funciones se comportan especialmente bien en dos dimensiones espaciales. De manera similar, la de Einstein-Hilbert funcional implica una función lineal de la curvatura, y por tanto es también crítica en dos dimensiones, que explica el buen comportamiento de flujo de Ricci y similares ecuaciones en dos dimensiones). Por razones similares, el Yang-Mills energía $\int_{{\bf R}^d} T_{00}\ dx$ es adimensional si y sólo si la dimensión espacial es de cuatro. Como tal, cuatro dimensiones espaciales es "crítica" para el Yang-Mills ecuación en el sentido de que para que un fijo de la energía, se obtiene más o menos el mismo comportamiento no lineal en ambos gruesas y finas escamas.

Esto también está relacionado con el por qué de Yang-Mills instantons sólo emergen en las dimensiones espaciales de cuatro o más; por debajo de esta dimensión, (elíptica) de Yang-Mills conexiones son siempre suaves. (En general, de las singularidades de este tipo de conexiones se sabe de codimension al menos cuatro, un clásico resultado de Uhlenbeck.)

Answer 4

Es la única dimensión en la que la conjetura suave de Poincare aún está abierta. Es la única dimensión en la que$\mathbb R^n$ tiene una estructura uniforme no estándar. (De hecho, incontablemente muchos de ellos).

Están sucediendo muchas cosas en cuatro dimensiones. En cierto sentido, está justo en el límite entre la topología baja y alta dimensional.

Answer 5

Un comentario es que 4 es la primera dimensión para la cual cada grupo presentado finitamente puede ser realizado como el grupo fundamental de un grupo cerrado de 4 múltiples. Otras propiedades especiales son que la primera clase de pontryagin y la invariante de Kirby-Siebenmann viven en cohomología de 4 dimensiones.