¿Qué problemas elementales puedes resolver con esquemas?

Question

Soy un estudiante de posgrado que ha estado aprendiendo acerca de los esquemas de este año a partir de las fuentes habituales (por ejemplo, Hartshorne, Eisenbud-Harris, Ravi Vakil notas). Estoy buscando algunos ejemplos de primaria autónomo de los problemas que el esquema de la teoría de respuestas - lo ideal sería algo que me podría explicar a un compañero estudiante de posgrado en otro campo cuando se preguntan "¿Qué se puede hacer con esquemas?"

Permítanme darles un ejemplo de lo que estoy buscando: En teoría de grupos finitos, un conocido teorema de Burnside es que un grupo de orden $p^a q^b$ es solucionable. Resulta una manera fácil de demostrar este teorema es mediante el uso de bastante carácter básico de la teoría (más tarde la prueba utilizando sólo 'elementary' teoría del grupo que ahora se conoce, pero es mucho más complejo). Entonces, si otro estudiante de posgrado me pregunta "¿Qué se puede hacer con el carácter de la teoría?", Les doy este ejemplo, incluso si ellos no saben lo que es un personaje.

Por otra parte, la declaración de Burnside del teorema no depende del carácter de la teoría, y este también es un ejemplo del carácter de la teoría de probar algo externo (por ejemplo, el carácter de la teoría no es sólo para probar teoremas sobre el carácter de la teoría).

Estoy muy interesado en aprender acerca de ejemplos similares de esquema de la teoría.

¿Cuáles son algunas de primaria problemas (idealmente, no dependiendo de los esquemas) que han agradable pruebas usando esquemas?

Por favor, tenga en cuenta que estoy no pidiendo a gran escala para la justificación del esquema teórico de la geometría algebraica (por ejemplo, el estudio de las conjeturas de Weil, etc). El objetivo es ser capaz de dar alguna noción de lo que puede hacer con los esquemas a, digamos, un principio estudiante de posgrado o alguien que no estudio de la geometría algebraica.

Answer 1

Un suave proyectiva variedad de más de $\mathbb{Q}$ tiene sólo un número finito de lugares de mala reducción. Shimura había una tremendamente complicado prueba de esto en el lenguaje de Weil fundaciones en un papel a partir de los años 50. Con los esquemas, es totalmente obvio, como la suavidad es un estado abierto. Incluso afirmar esto sin esquemas es doloroso. Todo el campo de la aritmética geometría es un ejemplo de lo que usted desea. En realidad, esta es mi única queja seria sobre Hartshorne. Él no hace ninguna Teoría del Número y $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ es donde los sistemas de brillar realmente.

Answer 2

A mí me parece que hay una gran cantidad de respuestas aquí, pero no estoy seguro de si viven el reto de mostrar la utilidad de los esquemas a través de un elemental ejemplo.

Déjame probar mi suerte y el riesgo de la ira de la MO de los cruzados.

Probablemente cualquier persona que tenga cualquier tipo de formación matemática han visto la clasificación de cónicas (un.k.una. plano quadrics) sobre $\mathbb R$. Quizás todavía un gran porcentaje de los que vieron este temprano en su matemáticos de la carrera se preguntó acerca de la asimetría que intervienen en el que tiene la costumbre simpáticos (elipse, parábola, hipérbola), la razonable degenerados (de dos diferentes líneas, ya sea en intersección o en paralelo), y luego están las más raras (doble línea, punto, conjunto vacío).

Este último grupo, mientras que el claro de la prueba parece extraño y uno puede sentir que no debe ser considerado. Ahora, si uno mira esquema de la teoría, entonces se convierte en completamente claro cómo estos encajan en el mismo molde y cómo esos "raros" son en realidad el mismo que el de niza (con algunos puntos, algunos vacía de conjuntos) o el "razonable" degenerados (el doble de líneas, otros puntos, vacía de conjuntos). La doble línea especialmente difícil de explicar, sin esquemas, mientras que los otros dos "más raras" son en realidad una consecuencia de la $\mathbb R$ no se algebraicamente cerrado, aunque curiosamente, la asociada a esquemas de tipo de "ver" la no-real puntos.

Un más alto de la ceja versión de la misma idea es el hecho de que (con más de $\mathbb C$) una familia de curvas elípticas (topológicamente tori) puede degenerar a un nodal cúbicos curva (topológicamente una esfera con dos puntos pegados) y una familia de racional curvas (topológicamente esferas) también puede degenerar al mismo objeto. Esto parece conducir a al menos confusión si no contradicción, como todo parece indicar que una esfera puede ser continuamente transformado en un toro. Mirando a estas familias de la manera adecuada, es decir, el uso de esquemas vemos que los dos degeneraciones no están produciendo el mismo esquema. La que viene de lo racional de las curvas de añadir un punto incrustado en el nodo, mientras que el punto incrustado no aparece en la familia de curvas elípticas.

Answer 3

Esta fue mi propia motivación para el aprendizaje de esquemas:

Teorema (Mazur): Si $E$ es una curva elíptica sobre $\mathbb Q$, entonces el subgrupo de torsión de $E(\mathbb Q)$ (el conjunto de puntos racionales de $E$) es isomorfo a $\mathbb Z/n\mathbb Z$ para $n = 1, \dots, 10,$ or $12$, or $\mathbb Z/2n\mathbb Z \times \mathbb Z/2\mathbb Z$ for $n = 1,\ldots,4$.

Un caso especial (debido a Mazur y Tate) es

Teorema: Si $E$ es una curva elíptica sobre$\mathbb Q$,, a continuación, $E$ no contiene un punto racional de la orden de $13$.

Esta es sin duda una declaración simple, pero su prueba utiliza la teoría de los esquemas en una manera crucial.

Answer 4

Si $I,J \subset A$ son comaximal ideales en un anillo conmutativo $A$, es decir,$I+J=A$, luego para todos los $n,m \in \mathbb N$ los ideales $I^n$ e $J^m$ son también comaximal.
Prueba: $\emptyset= V(A)=V(I+J)=V(I)\cap V(J)=V(I^n)\cap V(J^m)=V(I^n+J^m)$ por lo tanto $I^n+J^m=A$.

Advertencia: no me gustaría ser dibujado en una discusión sobre si esto es sólo la terminología o trivial algebraica o una gran trampa o lo que no. Todo lo que sé es que cuando yo tenía que probar este resultado hace mucho tiempo, se me ocurrió esta prueba un par de meses después de que yo había comenzado a aprender afín esquemas y yo estaba eufórico en el pensamiento de que podría, literalmente, ver por qué el resultado a cabo mediante el dibujo de dos disjuntas poco monigotes que representan a $V(I)$ e $V(J)$ dentro de un papa que representan a $Spec(A)$.

Editar (8 de abril de 2016)
Aquí está un ejemplo de cómo el pensamiento esquema-en teoría condujo a una prueba puramente algebraica problema.

Answer 5

El hecho de que una de primer orden de la declaración sobre algebraicamente cerrado campos sostiene en característica cero si y sólo si se cumple en todos lo suficientemente grande finito de característica puede ser demostrado mediante Chevalley del teorema en las imágenes de la edificable conjuntos, junto con una rutina de catalogación de la edificable subconjuntos de $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$. Esto le da un montón de ejemplos, incluyendo el Ax-teorema de Grothendieck sobre inyectiva polinomio de asignaciones.

(La idea de la prueba es que se asigna a una fórmula libre en n variables $x_1,\ldots,x_n$ el subconjunto de $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[x_1,\ldots,x_n])$ consiste de los puntos que se evalúan a "true" en un algebraicamente cerrado de campo sobre ese punto, y demostrar por inducción sobre la longitud de la fórmula que este subconjunto es edificable. La complicada sólo punto de cuantificadores, y estos son manejados por Chevalley del teorema.)