Aclaración de un Comentario de J. de acero en la independencia de Goldbach de ZFC

Question

En la página 424 de la siguiente ponencia:

S. Feferman, Harvey M. Friedman, P. Maddy y John R. Acero, `¿ Matemáticas Necesitan Nuevos Axiomas?" El Boletín de la Lógica Simbólica, Vol. 6, Nº 4, (Dic., 2000), pp 401-446

Juan de Acero hace el siguiente comentario en la nota 29:

Existe la muy remota posibilidad de que uno podría mostrar ZFC resuelve las preguntas sin exhibir la correspondiente ZFC-las pruebas. Goldbach de la conjetura y la hipótesis de Riemann se $\Pi_1^0$ declaraciones, por lo que no se puede demostrar independientes de ZFC sin probar.

Podría alguien explicarme qué tipo de resultado/principio él se está refiriendo aquí?

Supongo que es algo de la forma: "Para cualquier $\Pi_1^0$ declaración $\phi$ en el PA (o, posiblemente, algunos de los más débiles de la aritmética) Ind(ZFC, $\phi$) iff alguna condición." La condición, obviamente, no puede ser PA $\vdash \phi$ debido a que, por la solidez, que implica que la $\phi$ no es independiente. Pero no puedo pensar en qué otra condición que podría justificar el Acero de la observación.

Answer 1

Creo que lo que Juan de Acero (no Steele) se refería a que es mucho más simple que forzar y $\Pi^1_2$ absolutismo. Considere la posibilidad de Goldbach de la conjetura. Si eran falsos, por lo que hay algunos, incluso, número $n>2$ que no es la suma de dos números primos, entonces este hecho podría ser probado en ZFC, y de hecho en mucho más débil de los sistemas. La prueba consistiría en los cálculos de comprobación, para cada una de las $k<n$, que al menos uno de $k$ $n-k$ es compuesto (y la comprobación de que $n$ es incluso y $>2$). Esto demuestra que, si la conjetura de Goldbach es falsa, entonces es rebatible en ZFC. Por lo tanto, si yo sabía que la conjetura de Goldbach es independiente de ZFC --- significado no es ni demostrable ni rebatible --- entonces, ya que no es rebatible, yo sé que no puede ser falsa.

Resumen: Si vamos a probar que la conjetura de Goldbach es independiente de ZFC (o incluso probar la mitad de eso, es decir, que no puede ser refutado en ZFC), entonces tendríamos establecido que es cierto.

Como se indicó anteriormente, el mismo se aplica con ZFC sustituido por el mucho más débiles que las teorías; la aritmética de Peano es más que suficiente.

Lo mismo se aplica también a la Hipótesis de Riemann, pero el argumento es más complicado. El punto es que, al igual que en el caso de la conjetura de Goldbach, si la Hipótesis de Riemann eran falsas, entonces esto podría ser probado en ZFC con sólo escribir un adecuado cálculo. A diferencia de la Goldbach caso, sin embargo, no es tan obvio lo que el cálculo debe ser. Creo que los importes a computar suficientemente precisa aproximación a un contorno integral, a través de una curva de nivel que pasa alrededor de un off-the-crtical de la línea cero de la función zeta.

La propiedad de "si es false entonces rebatible por un mero cálculo" es básicamente lo $\Pi^0_1$ significa que, en el pasaje citado de Acero.

Answer 2

Para probar un $\Pi^0_1$ declaración $\phi$ es independiente de la PA significa que tenemos que demostrar PA no prueban $\phi$ y que el PA no prueban $\lnot \phi$. Ahora$\lnot \phi$$\Sigma^0_1$, y PA tiene la propiedad de que se puede demostrar cualquier verdadero $\Sigma^0_1$ declaración. Así que si PA no puede probar la $\lnot \phi$, $\lnot \phi$ es falso, por lo $\phi$ es cierto. Lo mismo vale para los ZFC, o cualquier otra teoría cuya aritmética consecuencias incluyen PA.

La clave aquí es que la prueba de que la PA no es prueba de $\phi$ sería en un sistema más fuerte que la PA. Así que no hay ninguna contradicción; es sólo que la una lo suficientemente fuerte como sistema, en la comprobación de $\phi$ es independiente de la PA, también sería capaz de demostrar $\phi$ es cierto.

Creo que la clave para la comprensión de la nota de pie de página para buscar en la sentencia a la que se adjunta:

Sin embargo, debemos reconocer que hasta que los problemas son en realidad resuelto esto es casi seguro que nunca será más que una conjetura.²⁹

Las dos frases que en la nota de pie de página son independientes comentarios sobre la frase; la segunda frase de la nota de pie de página no es una elaboración de la primera frase de la nota de pie de página.

Answer 3

La razón es que el $\Pi^1_2$ declaración acerca de los números naturales es absoluta entre modelos transitivos de ZFC (con el mismo ordinales, por supuesto). Eso significa que si $M\subseteq N$ son dos "agradable" modelos de ZFC que tienen el mismo ordinales, y $\varphi$ $\Pi^1_2$ declaración acerca de los números naturales, entonces $\varphi$ es verdadera en cada una de ellas, o falso en cada una de ellas.

Nuestro principal método de la prueba de la independencia de las declaraciones es una técnica que se llama forzar. Empezamos con un "buen" modelo de ZFC y la extendemos por la adición de un nuevo conjunto, y el resultado es otro de los "niza" modelo y ambos tienen el mismo ordinales. Para algunas de las declaraciones podemos suponer que el primer modelo les satisface, y demuestran que el modelo extendido no, o viceversa. De esta manera podemos demostrar que un enunciado es independiente de los axiomas de ZFC, es decir, que ZFC no puede probar ni refutar (si ZFC es consistente, por supuesto).

Así que lo que sabemos es que relativamente simples declaraciones acerca de los números naturales no puede ser obligado a ser verdaderas o falsas. Declaraciones de carácter General, como la hipótesis continua puede ser forzado a partir de un valor de verdad a la otra.

Que se ha dicho, podría ser otra manera de demostrar la independencia de los estados, pero en la actualidad tenemos sobre todo saber sobre la coerción y la compacidad y compacidad no siempre es útil.

Answer 4

Permítanme añadir una nota a pie de página Andreas Blass la respuesta.

Supongamos $T$ es una teoría que se extiende PA (o, de hecho, se extiende la Aritmética de Robinson). Entonces, por las razones indicadas, si $T$ es consistente, es $\Pi_1$ sonido. [Supongamos $\varphi$ es una falsa $\Pi_1$ frase. A continuación, $\neg\varphi$ es un verdadero $\Sigma_1$ frase y así es demostrable en PA. Por lo tanto, si $T$ resultó $\varphi$ sería inconsistente. Contrapose.]

Así que supongamos que usted viene para arriba con, por ejemplo, algunas Extrañas y Maravillosas de la teoría de conjuntos $W\&W$ que puede hacer un poco de aritmética. Y supongamos que en la $W\&W$ puede demostrar por ejemplo, la Hipótesis de Riemann o Último Teorema de Fermat. Entonces usted no tiene que creer en la existencia de $W\&W$'s superduperweirdo cardenales, o lo que sea. Sólo tienes que creer que $W\&W$ es consistente - y bingo, usted tiene un argumento a favor de la Hipótesis de Riemann. (Ecos aquí, por supuesto, de que el Programa de Hilbert!)

Recuerdo que pensé que esto era más mágico cuando llegué por primera vez a través de esta observación cuando el mundo era mucho menor, y los estudiantes pueden encontrar todavía es muy llamativo.