¿Cuáles son las formas de las funciones racionales?

Question

Me gustaría entender y calcular las formas de funciones racionales, es decir, mapas holomorfos de la esfera de Riemann a sí misma, o equivalentemente, cocientes de dos polinomios, hasta transformaciones de Moebius tanto en el dominio como en el rango. Para los grados 1 y 2, sólo hay una clase de equivalencia. Para el grado 3, existe una familia bien conocida de un parámetro complejo, por lo que el verdadero reto está en los grados superiores.

Dado un conjunto de puntos que son los valores críticos [en el intervalo], junto con un espacio de cobertura del complemento homeomorfo a una esfera puntuada, el teorema de uniformización dice que esta superficie de Riemann puede parametrizarse mediante $S^2$ definiendo así una función racional. ¿Hay alguna forma razonable de calcular un mapa racional de este tipo?

Me interesan las ideas sobre buenas y malas formas de hacerlo. El código informático también sería bienvenido.

Dado un conjunto de $2d-2$ puntos sobre $CP^1$ ser crítico puntos [en el dominio], se sabe desde Schubert que existen funciones racionales catalanas(d) con esos puntos críticos. ¿Hay alguna forma conceptual de describirlas e identificarlas?

En el caso de que todos los puntos críticos sean reales, Eremenko y Gabrielov, Rational functions with real critical points and the B. and M. Shapiro conjecture in real enumerative geometry. Anales de Matemáticas , v.155, p.105-129, 2002 dio una buena descripción. Están determinados por $f^{-1}(R)$ que es $R$ junto con subdivisiones especulares del semiplano superior e inferior mediante arcos. Éstas corresponden a las diversas cosas estándar que se enumeran mediante números catalanes. ¿Existe una clasificación conceptual global de este tipo? Y, ¿hay alguna manera de encontrar un mapa racional con puntos críticos dados junto con algún tipo de datos combinatorios adicionales?

Nótese que para el caso de polinomios, esto es muy trivial: los puntos críticos son ceros de su derivada, por lo que sólo hay un polinomio, que se obtiene integrando su la derivada.

¿Existe una caracterización completa de la derivada de Schwarz para un mapa racional, empezando por el caso genérico de $2d-2$ ¿puntos críticos distintos?

Véase el reciente pregunta por Paul Siegel. El Schwarzian $q$ para un mapa racional genérico tiene un doble polo en cada punto crítico. Como diferencial cuadrática, define una métrica $|q|$ en la esfera - puntos críticos que es isométrico a un cilindro infinitamente largo de circunferencia $\sqrt 6 \pi$ cerca de cada uno. Las trayectorias reales negativas de la diferencial cuadrática van de polo a polo, definiendo una gráfica plana.

¿Qué gráficas planas se dan para las derivadas schwarzianas de funciones racionales? ¿Qué desigualdades convexas (o de otro tipo) satisfacen?

El mapa del espacio de configuración de $(2d-2)$ puntos junto con los datos de ramificación al espacio de configuración de $2d-2$ puntos, definido por el mapeo (configuración de valores críticos más datos de cobertura ramificada) a (configuración de puntos críticos) es un mapa holomorfo, lo que implica que es una contracción de la métrica de Teichmuller.

¿Es este mapa una contracción de otras métricas fácilmente descritas?

Answer 1

1. Existe una caracterización de las derivadas schwarzianas de mapas racionales: sección 3 del texto: http://www.math.purdue.edu/~eremenko/dvi/schwarz3.pdf También hay algo parecido en arXiv:math/0512370, capítulo 2. Todas estas descripciones son varios sistemas de ecuaciones algebraicas. Una de ellas, las "ecuaciones de Bethe ansatz para el modelo de Gaudin", ha demostrado ser muy útil, véase Mukhin, Tarasov y Varchenko, La conjetura de B. y M. Shapiro en la geometría algebraica real geometry and the Bethe ansatz, Ann. Math. 170, 2 2009, 863-15.

2. Hay alguna descomposición celular de la esfera que puede estar intrínsecamente relacionada con una función ratonal. Se describe en el artículo Bonk, Eremenko, Regiones de Schlicht de funciones enteras y meromorfas, J. d'Analyse, 77, 1999, 69-104, apartado 7.8. Para una descomposición celular dada, una función racional puede recuperarse utilizando un algoritmo similar al algoritmo de empaquetamiento de círculos de Thurston. Sin embargo, con esta descripción, los puntos críticos o el valor crítico no pueden y la descomposición de celdas no determina la función racional. completamente.

EDITADO el 18.12.2015. He aquí un preprint reciente relacionado con esta cuestión y con mi respuesta: http://arxiv.org/abs/1511.04246 . Y otro preprint del mismo autor: http://arxiv.org/abs/1502.04760 . Permítanme mencionar que el contenido del segundo preprint era bien conocido por los matemáticos alemanes en 1930-40, y para una exposición de este material en Inglés se puede mirar a este libro MR2435270 Capítulo VII, y referencias allí.

Answer 2

La forma en que yo veo la forma de las funciones racionales (y especialmente de los polinomios) es en términos de la configuración de sus curvas de nivel crítico. Supongamos que $r$ es una función racional con un polo simple en $\infty$ (que siempre se puede conseguir componiendo antes y después con funciones Moebius). Primero vamos a clasificar las curvas de nivel individual de $r$ .

TEOREMA 1 Sea $\Lambda$ sea una curva de nivel de $r$ (es decir, un componente del conjunto $\{z:|r(z)|=\epsilon\}$ para algunos $0<\epsilon<\infty$ ). Hay dos posibilidades.

• Si $\Lambda$ no contiene puntos críticos de $r$ entonces $\Lambda$ es una curva de Jordan suave en $\mathbb{C}$ .

• Si $\Lambda$ contiene puntos críticos de $r$ entonces $\Lambda$ es un grafo finito conexo suave a trozos con vértices en los puntos críticos, que forma una "figura de ocho complicada". Es decir, satisface las siguientes propiedades:

  1. Hay tantos (y más de dos) bordes de $\Lambda$ incidente en cada vértice de $\Lambda$ .

  2. Cada borde de $\Lambda$ es incidente a una cara acotada de $\Lambda$ (si $r$ es un polinomio, que ahora puede tener cualquier número de polos en $\infty$ existe la restricción adicional de que cada arista también incide en la cara no limitada de $\Lambda$ ).

Curvas de nivel de llamada de segundo tipo (es decir, que contienen puntos críticos) curvas de nivel crítico . Las dos propiedades juntas implican que una curva de nivel crítico $\Lambda$ de $r$ es una especie de gráfico en forma de ocho, que puede formarse a partir de un ocho uniendo iterativamente círculos al gráfico en puntos individuales (con el círculo en una cara acotada o en una cara no acotada).

Definamos a figura ocho gráfico de tipos sea una que tenga las propiedades descritas en el Teorema 1, y a gráfico polinómico tipo ocho sea uno con la propiedad adicional descrita en el punto 2 del teorema 1.

A continuación, clasificaremos la forma en que pueden situarse las curvas de nivel crítico entre sí.

TEOREMA 2 Sea $\Lambda$ sea una curva de nivel crítica (de hecho, cualquier curva de nivel) de $r$ y que $D$ denota una de sus caras acotadas. Se obtiene una de las siguientes.

1. $r$ tiene un único cero o polo distinto en $D$ .

2. Hay una curva de nivel crítico $\Lambda_D$ que es "máxima" en $D$ . Es decir, máxima en el sentido de que todos los ceros y polos de $r$ en $D$ están contenidas en las caras acotadas de $\Lambda_D$ y cada punto crítico de $r$ en $D$ está en $\Lambda_D$ o contenida en una cara acotada de $\Lambda_D$ .

La imagen que surge del Teorema 2 es que, si $A$ es un conjunto que contiene todas las curvas de nivel crítico de $r$ junto con los ceros y polos de $r$ entonces cada componente de $A^c$ en $\mathbb{C}$ es un anillo topológico.

De hecho, se puede decir más.

TEOREMA 3 Si $D$ es un componente de $A^c$ . Entonces se cumple lo siguiente.

1. $D$ es topológicamente un anillo.

Sea $D_-$ denota la cara acotada de $D^c$ . Sea $Z$ y $P$ denotan el número de ceros y polos de $r$ en $D_-$ respectivamente.

2. $r^{\frac{1}{Z-P}}$ es un mapa conforme de $D$ a un anillo centrado en el origen.

Podríamos reformular el punto 2. como:

3. Existe un mapa conforme $\phi$ de $D$ a un anillo centrado en el origen tal que $r=\phi^{Z-P}$ en $D$ .

Ahora tenemos una idea clara de la forma de la función $r$ en función de sus curvas de nivel crítico. Las curvas de nivel crítico forman una especie de esqueleto, bien un cero o polo, bien una curva de nivel crítico máximo en cada cara acotada de cualquier curva de nivel dada. Entre las curvas de nivel crítico hay una hoja lisa de la función, conformemente sólo una potencia pura.

Dado que la función racional es tan simple entre sus curvas de nivel crítico, no debería sorprendernos que estas curvas de nivel crítico determinen la función racional. Es decir, el "esqueleto" geométrico de las curvas de nivel crítico es un invariante conforme fuerte de la función racional.

Si se añaden datos adicionales (como los argumentos de $r$ en los vértices, el cambio neto en $\arg(r)$ a lo largo de cada arista del gráfico, y la magnitud de $|r|$ en cada gráfica), entonces la configuración de las curvas de nivel crítico de una función racional es un invariante conforme fuerte.

TEOREMA 4 Si dos funciones racionales cualesquiera $r_1$ y $r_2$ tienen la misma configuración de curvas de nivel crítico (hasta el homeomorfismo preservador de la orientación), entonces son conformalmente equivalentes. Es decir, existe un mapa de Moebius $M$ tal que $$r_2=r_1\circ M$$ en $\overline{\mathbb{C}}$ .

Por último, una pregunta natural es: ¿Qué imágenes de este tipo surgen a partir de funciones racionales? La respuesta es completamente conocida para los polinomios, y la respuesta es todos ellos.

TEOREMA 5 Toda configuración de un número finito de grafos polinómicos de tipo ocho ordenados según la conclusión del Teorema 2 es la configuración de curva de nivel crítico para algún polinomio.

El hecho correspondiente para las funciones racionales (es decir, todas las configuraciones corresponden a alguna función racional, donde se elimina la restricción adicional del punto 2 del teorema 1) parece ser casi cierto, pero por el momento no se puede demostrar.

Desgraciadamente no conozco ningún buen método para calcular la configuración de la curva de nivel crítico para una función racional dada (aparte de aproximarla con ContourPlot en Mathematica), o para encontrar una función racional con una configuración de curva de nivel crítico dada.

Todo lo anterior puede consultarse en detalle en los documentos 2 y 3 de Arxiv aquí o en mi sitio web aquí . Los antecedentes de la curva de nivel de las funciones analíticas pueden encontrarse en el artículo 4 de la página Arxiv a la que se ha hecho referencia anteriormente.