Generalizando un problema para hacerlo más fácil

Question

Uno de los muchos artículos sobre el Tricki que fue planeado, pero nunca se ha escrito era acerca de lo que es más fácil resolver un problema por la generalización de la misma (que en un principio parece paradójico, ya que si se generaliza algo, entonces usted está tratando de demostrar una declaración más fuerte). Sé que me he topado con este fenómeno, muchas veces, y a veces ha sido muy sorprendente cuánto más simple es la generalizada problema. Pero ahora que trato de recordar alguno de esos ejemplos me parece que no puedo. Recientemente se me ocurrió que MO podría ser un ideal de ayudar a la Tricki: si desea escribir un Tricki artículo, pero carecen de un suministro de buenos ejemplos, entonces usted puede hacer para ellos en MO.

Quiero ver si esto funciona por hacerlo realidad, y en este artículo es uno en particular que me gustaría escribir. Así que si tienes un buen ejemplo de la manga (idealmente, "bueno" significa, a la vez que ilustra el fenómeno bien y que es razonablemente fácil de comprender para los demás) y estamos felices de compartir, entonces yo estaría agradecido de escuchar. A continuación, voy a base de un artículo sobre esos ejemplos, y también voy a poner un enlace de ese artículo, de este MO la página así que si usted piensa en un excelente ejemplo a continuación, usted recibirá el crédito por allí como aquí.

Por cierto, aquí está la página en esta idea como lo es hasta ahora. Se divide en las subpáginas, que pueden ayudar a pensar en ejemplos.

Añadido posterior: En la luz de Jonas comentario de abajo (me miró, pero no lo suficientemente duro), tal vez el apropiado si usted viene para arriba con un buen ejemplo es el de añadir una respuesta a la pregunta anterior, en lugar de este. Pero también me gustaría dejar esta pregunta aquí porque estoy interesado en la idea general de que algún tipo de simbiosis entre el Tricki y MO (incluso si es principalmente el Tricki que se benefician de MO en lugar de al revés).

Answer 1

Gran pregunta. Tal vez el fenómeno es menos sorprendente si se piensa que hay $\infty$ formas de generalizar una pregunta, pero sólo algunos de ellos hacer algunos progresos. Creo que es razonable decir que el éxito de las generalizaciones deben incorporar, de manera consciente o no, una profunda comprensión del problema en cuestión. Operan a través del mismo mecanismo que funciona en buena abstracción, ayudando a que usted se olvida de detalles insignificantes y centrarse en el meollo de la cuestión.

Un ejemplo, que es probablemente demasiado grandioso para calificar como una respuesta, ya que tu pregunta me parece muy específicos, es la teoría de Fredholm. En el comienzo del siglo pasado ecuaciones integrales fueron un tema candente y un omnipresente herramienta para resolver muchos de hormigón de la PDE problemas. La teoría de los operadores lineales en Banach y de Hilbert espacios es una consecuencia de este círculo de problemas. Ahora, generalizando a partir de $$ u(x) + \lambda \int _a ^b k(x,s) u(s) ds = f(x) $$ a $$ (I+ \lambda K) u = f $$ hace que el problema trivial, y lo hacemos sin pensar. Pero debe haber sido un shock en el año 1900.

Answer 2

Weyl la equidistribución teorema establece que para $\alpha \notin \mathbb{Q}$, la secuencia de partes fraccionarias $x_n = \{ n \alpha \}, n=1,2,\dots$ es equidistributed en la unidad de intervalo, es decir, $\lim_{N \to \infty}\frac{|\{x_n\}_{n=1}^{N} \cap (a,b)|}{N} = b-a$ por cada subinterval $(a,b) \subset [0,1]$.

El hecho de que esta secuencia es denso en $[0,1]$ es una simple aplicación del principio del palomar, pero el hecho de que es equidistributed parece mucho más difícil de probar en primera. Sin embargo, esto es muy fácil establecer si uno generaliza la definición de equidistribución (o, más precisamente, de los objetos que aparecen en ella). Es decir, por muy fácil que los argumentos de uno puede mostrar que $x_n$ es equidistributed en $[0,1]$ si y sólo si $\frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} f(x_n) \to \int_{0}^{1}f(x)dx$ por cada continuo (o de Riemann integrable) la función $f$ a $[0,1]$. Ahora uno no puede resistir la tentación de mirar para funciones de $f$ por que esto es fácil de demostrar. El exponenciales complejas $f_m (x) = e^{2 \pi i m x}$ donde $m \in \mathbb{Z}$, son esas funciones y por el clásico análisis de Fourier (o la Piedra-teorema de Weierstrass) es suficiente para demostrar que por encima de la convergencia de tales funciones. Uno es lo que llevó a la Weyl criterio, lo que reduce el problema de mostrar que la secuencia de $\{ n \alpha \}$ es equidistributed en $[0,1]$ a un simple cálculo que implican la suma de una progresión geométrica. (Por supuesto, Weyl del criterio es útil en el estudio de otro, una mayor participación en las secuencias así)

En esencia, empezamos con un problema que se refiere a funciones de los indicadores de subintervalos de $[0,1]$, generalizada a un problema que implica una mucho más grande de la clase de funciones $\mathcal{F}$ y, a continuación, encontrar una buena, especial subclase con la que podemos "capturar" a toda la clase $\mathcal{F}$ (y, en particular, las funciones empezamos). Este procedimiento de "generalizar y, a continuación, se especializan" parece bastante común en el análisis. En este caso también tiene relación con la Tricki artículo "Activar conjuntos de funciones".

Answer 3

El ejemplo canónico para presentar esta idea temprano a los estudiantes es el Teorema fundamental del cálculo. Para descubrir un área$\int_{a}^b f(t)dt$, debe familiarizarse con el problema generalizado$x \mapsto \int_{a}^x f(t)dt$

Answer 4

Hay muchos ejemplos en los que la introducción de uno o más parámetros adicionales en un integrante que se desea evaluar o una identidad que se quiere probar que hace las cosas más fáciles. Por ejemplo, Feynman fue amante de la evaluación de las integrales por la diferenciación bajo el signo integral, y en su avanzada determinante de cálculo, Christian Krattenthaler explícitamente insta a introducir más parámetros en cualquier determinante usted está teniendo problemas para la evaluación.

Para el Tricki, tal vez uno de los más simples ejemplos de ello serían la evaluación de $\int_0^\infty {\sin x \over x}dx$ considerando $\int_0^\infty e^{-xt} \bigl({\sin x \over x}\bigr) dx$ y diferenciando con respecto a $t$.

Answer 5

De Noam Elkies' AMS artículo Celosías, Códigos Lineales, y Invariantes, Parte I: Elkies ha estado hablando sobre lo difícil que es encontrar el mínimo distinto de cero de la longitud de un elemento de un entramado $C$.

A veces una respuesta adecuada a un difícil problema matemático es plantear un problema mucho más difícil. Aquí nos encontramos con el mínimo distinto de cero longitud intratable, y por lo tanto pedir *todas* las longitudes de los vectores de $C$ y sus multiplicidades. Equivalentemente, solicitamos la siguiente generación de la función de todos los cuadrados de las longitudes, llamado el *theta función* (o *theta de la serie*) de $C$: $$\Theta_C(z) = \sum_{x \in C} z^{\langle x, x \rangle} = 1 + \sum_{m >0}^{\infty} N_m(C) z^m$$ donde $N_m(C)$ es el número de celosía vectores de longitud $\sqrt{m}$.

Es difícil considerar particular longitudes, pero más fácil considerar la totalidad de la theta de la función porque le dará el problema más estructura y, a continuación, usted tiene acceso a la más fuerte de las herramientas como de sumación de Poisson.