¿Hay un bijection continuo entre un intervalo y una plaza: $[0,1] \mapsto [0,1] \times [0,1]$?

Question

Hay un continuo bijection de $[0,1]$ a $[0,1] \times [0,1]$?
Que es con $I=[0,1]$$S=[0,1] \times [0,1]$, hay un continuo bijection $$ f: I \a S? $$

Yo sé que hay un continuo bijection $g:C \to I$ desde el conjunto de Cantor $C$$[0,1]$.
El cuadrado de $S$ es compacto, entonces existe una función continua $$ h: C \S. $$ Pero esto no lleva a ninguna parte.
Es allí una manera de construir una $f$?

Lo pregunto porque tengo un continuo funcional $F:S \to \mathbb R$.
Para numérica de razón, me gustaría convertirlo en el funcional $$ G: I \to \mathbb R, \\ G = F \circ f , $$ de modo que $G$ es continua.

Answer 1

No, no puede existir una biyección del intervalo unidad $I$ a la unidad Plaza $S$. Ya que es compacto $I$ $S$ es Hausdorff, un bijection continuo sería un Homeomorfismo. Pero en $I$ hay no sólo dos-corte-puntos, mientras que en $S$ cada punto es un no-punto de corte.

Answer 2

Sugerencia: Tener en cuenta qué sucede con el % conectado $[0,1]$si se quita el punto $\frac12$. ¿Qué pasa a $[0,1]\times[0,1]$ $f(\frac12)$ se elimina?

Answer 3

No. Fue la más fácil ver que este es el primer aviso de que $[0,1]^2\setminus \{x\}$ está conectado por cualquier $x \in [0,1]^2$.

Es más fácil (para mí) para trabajar con $\phi = f^{-1}$. Sin embargo, debo mostrar que $\phi$ es continua. Supongamos $y_n \to y$, debe demostrar que $\phi(y_n) \to \phi(y)$. Deje $x_n = \phi(y_n), x = \phi(y)$. Uno es un poco técnico manera es mostrar que cada subsequence de $x_n$ contiene una más larga que converge a $x$. De esto podemos concluir que $\phi$ es continua.

Supongamos $x_{n_k} \to z$. Desde $f$ es continua, tenemos $y_{n_k} = f(x_{n_k}) \to f(z) = y$. Por lo tanto $z = x$. (Así que, de hecho, la secuencia entera, no sólo una larga converge a $x$.) Por lo tanto $\phi$ es continua.

Ahora supongamos $\phi:[0,1]^2 \to [0,1]$ es un continuo bijection. Deje $x = \phi^{-1} (\frac{1}{2} )$, $\phi([0,1]^2\setminus \{x\})$ está conectado, sin embargo vemos que $\phi([0,1]^2\setminus \{x\}) = [0,\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2},1]$ que no está conectado. Por lo tanto, una contradicción.

Answer 4

Como las otras respuestas del estado, no hay bijection. Sin embargo, ya que usted menciona numerics, una aproximación podría ser de interés:

La curva de Lissajous $\begin{pmatrix}\sin(at+\delta)\\\cos(bt)\end{pmatrix}$ por un irracional relación $a/b$, por ejemplo,$a=1, b=\sqrt2$, no está cerrado y por lo tanto los mapas de $\mathbb R$ a un subconjunto denso de $[0,1]^2$. Ahora toma una de las $\mathbb [0,1]\to\mathbb R$ asignaciones, por ejemplo, $t = \tan(\pi(u-\frac12))$ o $\operatorname{artanh}(2u-1)$, para obtener un mapa de $[0,1]$ a un subconjunto denso de $[0,1]^2$. Ahora me pregunto si hay un analysical fórmula para obtener el $t$ mejor se aproxime a un determinado $(x,y)$...