¿Por qué nos preocupamos por $L^p$ espacios además de $p = 1$ , $p = 2$ y $p = \infty$ ?

Question

Estaba ayudando a un alumno a estudiar para un examen de análisis funcional y surgió la pregunta de cuándo, en la práctica, hay que considerar el espacio de Banach $L^p$ para algún valor de $p$ aparte de las obvias de $p=1$ , $p=2$ y $p=\infty$ . No sé mucho de análisis y lo mejor que se me ocurrió fue la desigualdad 4/3 de Littlewood. En su forma más elemental, esta desigualdad dice que si $A = (a_{ij})$ es un $m\times n$ con entradas reales, y definimos la norma $$||A|| = \sup\biggl(\left|\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{ij}s_it_j\right| : |s_i| \le 1, |t_j| \le 1\biggr)$$ entonces $$\biggl(\sum_{i,j} |a_{ij}|^{4/3}\biggr)^{3/4} \le \sqrt{2} ||A||.$$ ¿Hay ejemplos más convincentes de la importancia de los valores "exóticos" de $p$ ? Recuerdo haberme preguntado esto cuando era estudiante, pero nunca lo hice. Ahora que lo pienso, me parece un poco impar desde el punto de vista pedagógico que ninguno de los libros de texto que he visto dé ninguna aplicación que implique valores específicos de $p$ . No me encontré con la desigualdad 4/3 de Littlewood hasta más tarde.

[Edición: ¡Gracias por las numerosas respuestas, que han superado mis expectativas! Tal vez debería haber previsto que esta pregunta generaría una gran lista; en cualquier caso, he añadido la etiqueta big-list. Mi elección de qué respuesta aceptar fue necesariamente algo arbitraria; todas las respuestas principales son excelentes].

Answer 1

Enormes partes de la teoría de las EDP no lineales se basan en el análisis en $L^p$ -espacios.

• Tomemos como ejemplo las ecuaciones de Navier-Stokes en 3D. Leray demostró en 1933 la existencia de un débil solución al correspondiente problema de Cauchy con datos iniciales del espacio $L^2(\mathbb R^3)$ . Desgraciadamente, sigue siendo un gran problema abierto si la solución débil de Leray es única. Pero si uno elige los datos iniciales de $L^3(\mathbb R^3)$ Entonces Kato demostró que hay un fuerte único solución de las ecuaciones de Navier-Stokes (que se sabe que existe localmente en el tiempo). $L^3$ es el "más débil" $L^p$ -de datos iniciales que se sabe que dan lugar a soluciones únicas de Navier-Stokes en 3D.

• En algunos casos, la estructura de las ecuaciones sugiere la elección de $L^p$ como el espacio más natural para trabajar. Por ejemplo, muchas ecuaciones derivadas de la dinámica de fluidos no newtonianos y el procesamiento de imágenes implican el $p$ -Laplaciano $\nabla\left(|\nabla u|^{p-2}\nabla u\right)$ con $1 < p < \infty.$ Aquí el $L^p$ -espacio y $L^p$ -Los espacios de Sobolev proporcionan un marco natural para el estudio de los problemas de regularidad y de buena composición.

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• Otro ejemplo del análisis armónico (que se remonta a Paley y Zigmund, creo). Sea $$F(x,\omega)=\sum\limits_{n\in\mathbb Z^d} g_n(\omega)c_ne^{inx},\quad x\in \mathbb T^d,$$ donde $g_n$ es una secuencia de gaussianos normalizados independientes y $(c_n)$ es un elemento no aleatorio de $l^2(\mathbb Z^d)$ . Entonces la función $F$ pertenece casi con seguridad a cualquier $L^p(\mathbb T^d)$ , $2\leq p <\infty$ y no pertenecen casi con toda seguridad a $L^{\infty}(\mathbb T^d)$ .

Ha habido aplicaciones muy recientes de este recurso a la existencia de soluciones de las ecuaciones no lineales de Schrodinger con datos iniciales aleatorios (debido a Burq, Gérard, Tzvetkov y otros).

Answer 2

Me parece que esta pregunta puede haber surgido antes. En cualquier caso, el $\ell_4$ norma, y más generalmente la $\ell_{2k}$ para cualquier número entero positivo $k$ surgen naturalmente en el análisis de Fourier, ya que el $\ell_{2k}$ norma de la transformada de Fourier de $f$ es igual a la suma de $f(x_1)...f(x_k)\overline{f(y_1)...f(y_k)}$ sobre todo $x_1+...+x_k=y_1+...+y_k$ . Este tipo de suma aparece mucho en la combinatoria aditiva, especialmente cuando $f$ está estrechamente relacionada con la función característica de un conjunto. Y se pueden obtener otras normas por dualidad -- por ejemplo la $4/3$ es el dual de la 4-norma, y por lo tanto también aparece.

Answer 3

Tim, tengo dos palabras para ti: teoremas de interpolación (por ejemplo, los teoremas de interpolación de Riesz-Thorin y Marcinkiewicz). Estos teoremas te permiten pasar de la información sobre algunos operadores en $L^1$ y $L^\infty$ a algunos operadores en $L^2$ utilizando todos los exponentes intermedios $p$ .

La cuestión aquí no es que uno se preocupe realmente por $L^{37.24}$ por sí mismo, pero los teoremas de interpolación le muestran que tales "exóticas" $L^p$ -los espacios pueden estar al servicio de su majestad $L^2$ . Creo que para un estudiante, estos teoremas de interpolación proporcionan una razón atractiva para preocuparse por $L^p$ para todos $p \geq 1$ .

Esta no es mi área en absoluto, así que agradezco los comentarios de los analistas sobre esta respuesta.

Answer 4

En las EDP, varios valores de p surgen como grados de regularidad. Los teoremas de incrustación de Sobolev permiten "cambiar" derivadas generalizadas por derivadas clásicas. Es posible que se necesite que el exponente p esté por encima de un determinado umbral para obtener un resultado de regularidad deseado.

Aun así, estoy de acuerdo con tu observación de que la mayor parte del tiempo los valores de p que importan son 1, 2 e infinito.

Answer 5

En cuanto a la probabilidad, el $L^p$ normas le dan la $p$ -Los momentos de una variable aleatoria, y la relación entre ellos puede decir mucho sobre su distribución. Por ejemplo, los momentos 3 y 4 nos dicen algo sobre la simetría y la concentración de la media de una distribución. Los estadísticos les dan nombres muy bonitos como "asimetría" y "curtosis".

También mencionaré un reciente y sorprendente teorema de Nualart et al, que dice que una secuencia de variables aleatorias tomadas de un caos de Wiener convergen en distribución a un cierto límite si y sólo si sus cuartos momentos convergen hacia lo correcto. (Los primeros y segundos momentos no son suficientes).