Convergencia de$\sum(n^3\sin^2n)^{-1}$

Question

Yo la vi hace un tiempo en un libro de Clifford Pickover, que si $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^3\sin^2 n}$ converge está abierto.

Yo creo que la cuestión de su convergencia es realmente acerca de la densidad en $\mathbb N$ de la secuencia de los numeradores de la norma convergente aproximaciones a $\pi$ (que, en sí mismo, parece una pregunta interesante). Ingenuamente, el punto es que si $n$ está "cerca" de un conjunto múltiple de $\pi$,, a continuación, $1/(n^3\sin^2n)$ es "cercano" a $\frac1{\pi^2 n}$.

[Numéricamente existe alguna evidencia de que sólo algunos de estos valores de $n$ afectan el comportamiento global de la serie. Por ejemplo, lo $S(k)=\sum_{n=1}^{k}\frac1{n^3\sin^2n}$, uno ve que $S(k)$ no cambia mucho en el intervalo, digamos, $[50,354]$, con $S(354)<5$. Sin embargo, $S(355)$ está cerca de a $30$, y tenga en cuenta que $355$ está muy cerca de a $113\pi$. Por otro lado, $S(k)$ no cambio mucho desde ese punto hasta $k=100000$, donde me detuve mirando.]

Me imagino que hay un gran cuerpo de trabajo dentro de los cuales la cuestión de la convergencia de esta serie iba a caer de forma natural, y yo estaría interesado en conocer algo acerca de él. Por desgracia, estoy terriblemente ignorante en estos asuntos. Incluso sabiendo dónde buscar algo de información sobre aproximaciones de $\pi$ por racionales, o un ad hoc enfoque justo a la medida para esta serie sería interesante también.

Answer 1

Como Robin Chapman menciona en su comentario, la dificultad de investigar la convergencia de $$ \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^3\sin^2n} $$ es debido a la falta de conocimiento sobre el comportamiento de los $|n\sin n|$ as $n\to\infty$, mientras que el segundo está relacionado con aproximaciones racionales a $\pi$ como sigue.

Descuidar los términos de la suma por la cual $n|\sin n|\ge n^\varepsilon$ ($\varepsilon>0$ es arbitrario), como todos ellos contribuyen sólo a la `parte convergente' de la suma, la pregunta es equivalente a la de la serie $$ \sum_{n:n/\sin n|< n^\varepsilon}\frac1{n^3\sin^2n}. \qquad(1) $$ Para cualquier $n$, vamos a $q=q(n)$ minimiza la distancia $|\pi q-n|\le\pi/2$. Entonces $$ \pecado|\pi p-n|=|\pecado n|< \frac1{n^{1-\varepsilon}}, $$ de modo que $|\pi q-n|\le C_1/n^{1-\varepsilon}$ para algunos absoluta constante $C_1$ (aquí usamos ese $\sin x\sim x$ as $x\to0$). Por lo tanto, $$ \biggl|\pi\frac nq\biggr|<\frac{C_1}{qn^{-\varepsilon}}, $$ equivalentemente, $$ \biggl|\pi\frac nq\biggr|<\frac{C_2}{n^{2-\varepsilon}} \quad\text{o}\quad \biggl|\pi\frac nq\biggr|<\frac{C_2'}{q^{2-\varepsilon}} $$ (debido a que $n/q\approx\pi$) para todos los $n$ participar en la suma (1). Ahora está claro que la convergencia de la suma (1) depende en cuanto a la frecuencia hemos $$ \biggl|\pi\frac nq\biggr|<\frac{C_2'}{q^{2-\varepsilon}} $$ y cuán pequeña es la cantidad en estos casos. (Tenga en cuenta que de ello se deduce a partir del teorema de Dirichlet que una mayor desigualdad, $$ \biggl|\pi\frac nq\biggr|<\frac1{p^2}, $$ pasa por una infinidad de pares de $n$ e $q$.) La serie (1) converge si y sólo si $$ \sum_{n:/\pi-n/q|< C_2n^{-2+\varepsilon}}\frac1{n^5|\pi-n/q|^2} $$ converge. Se puede sustituir la suma sumando más de $q$ (de nuevo, para cada plazo $\pi q\approx n$) y, a continuación, suma el resultado sobre todas las $q$, debido a la los términos correspondientes a $|\pi-n/q|< C_2n^{-2+\varepsilon}$ no influencia en la convergencia: $$ \sum_{q=1}^\infty\frac1{q^5|\pi-n/q|^2} =\sum_{q=1}^\infty\frac1{q^3(\pi p-n)^2} \qquad(2) $$ donde $n=n(q)$ ahora es elegido para minimizar $|\pi-n/q|$.

Resumiendo, la original de la serie converge si y sólo si la serie en(2) converge.

Es ya una cuestión interesante de lo que puede decirse acerca de la la convergencia de (2) si reemplazamos $\pi$ por otra constante $\alpha$, por ejemplo, un "genérico de la irracionalidad". La serie $$ \sum_{q=1}^\infty\frac1{q^3(\alpha q-n)^2} $$ para un verdadero cuadrática irracionalidad $\alpha$ converge porque la mejor aproximaciones son $C_3/q^2\le|\alpha-n/q|\le C_4/q^2$, y se han conseguido en el convergents $n/q$ con $q$ aumenta geométricamente. Una más delicada la pregunta parece ser $\alpha=e$, debido a un tercio de su convergents satisface $$ C_3\frac{\log\log q}{p^2\log q}<\biggl|e-\frac pq\biggr|< C_4\frac{\log\log q}{p^2\log p} $$ (ver, por ejemplo, [C. S. Davis, Bull. Austral. De matemáticas. Soc. 20 (1979) 407--410]). El número de $e$, cuadrática irracionalidades, e incluso números algebraicos son "genéricos", en el sentido de que su irracionalidad exponente es conocido por ser 2. ¿Qué acerca de la $\pi$?

La irracionalidad exponente $\mu=\mu(\alpha)$ real de un número irracional $\alpha$ se define como el infimum de los exponentes $\gamma$ tal que la desigualdad de $|\alpha-n/q|\le|q|^{-\gamma}$ ha sólo un número finito de soluciones en $(n,q)\in\Bbb Z^2$ con $q\ne0$. (Por lo tanto, del teorema de Dirichlet implica que $\mu(\alpha)\ge2$. En el mismo tiempo de métrica de la teoría de números, sabemos que es 2, para casi todos los bienes irrationals.) Suponga que $\mu(\pi)>5/2$, entonces hay infinitamente muchos soluciones a la desigualdad $$ \biggl|\pi\frac nq\biggr|<\frac{C_5}{q^{5/2}}, $$ por lo tanto infinitamente muchos términos en (2) está acotado abajo por $1/C_5$, por lo que la serie diverge (y (1) hace así). Aunque el general la creencia es que el $\mu(\pi)=2$, el mejor resultado conocido de V. Salikhov (ver esta respuesta por Gerry y mi comentario) sólo afirma que $\mu(\pi)<7.6064\dots$,.

Espero que esto explica el problema de determinar el comportamiento de la serie en cuestión.

Answer 2

Hay incluso una mayor reducción que se puede hacer:

Teorema: Las Colinas de piedra de la serie converge si y sólo si la serie $$ \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{q_n^3 (q_n\pi - p_n)^2} \qquad{(1)} $$ converge, donde $(p_n/q_n)_1^\infty$ es la secuencia de convergents de $\pi$.

Prueba:Vamos A $$ S = \sum_{q = 1}^\infty \frac{1}{q^3 (q\pi - p)^2}, \qquad{(2)} $$ donde $p\in\mathbb N$ es el elegido para minimizar $|q\pi - p|$. Como Wadim Zudilin argumentado, las Colinas de piedra de la serie converge si y sólo si $S$ converge. Ahora, considere el unimodular de celosía $\Lambda = \{(q,q\pi - p) : p,q\in\mathbb Z\}$. Podemos reescribir $S$ como $$ S = \sum_{\substack{(q,r)\in\Lambda^* \\ q > 0 \\ -1/2 < r < 1/2}} \frac{1}{q^3 |r|^2}\cdot $$ Aquí $\Lambda^* = \Lambda\setminus\{\mathbf 0\}$. Luego, utilizando la identidad $$ \frac{1}{q^3 r^2} = \int_{s > q} \int_{t > r} \frac{\partial}{\partial s}\frac{\partial}{\partial t}\frac{1}{s^3 t^2} \;dt\;ds = \int_{s > 1} \int_{t > 0} \frac{\partial}{\partial s}\frac{\partial}{\partial t}\frac{1}{s^3 t^2} [s > p][t > r] \;dt\;ds $$ tenemos $$ S = \int_{s > 1} \int_{t > 0} \frac{\partial}{\partial s}\frac{\partial}{\partial t}\frac{1}{s^3 t^2} \sum_{\substack{(q,r)\in\Lambda^* \\ q > 0 \\ -1/2 < r < 1/2}} [s > p][t > |r|] \;dt\;ds\\ = \int_{s > 1} \int_{t > 0} \frac{\partial}{\partial s}\frac{\partial}{\partial t}\frac{1}{s^3 t^2} \#\big\{(q,r)\in\Lambda^* : 0 < q < s,\; |r| < \min(t,1/2)\big\} \;dt\;ds. \qquad{(3)} $$ Podemos obligado el integrando en dos formas diferentes, dependiendo de si o no $$ N_{s,t} := \#\big\{(q,r)\in\Lambda^* : 0 < q < s,\; |r| < \min(t,1/2)\big\} \leq \max(0,3 pt - 1/2). \qquad{(4)} $$ Si (4) se mantiene, entonces se puede utilizar para limitar el todo integral; dejo al lector para verificar que el resultado de la integral converge. Así que vamos a considerar los casos en los que (4) se produce un error.

Fix $s > 1$ e $t > 0$, y deje $D_{s,t} = (-s,s)\times(-t,t)$. Si $D_{s,t}$ contiene dos linealmente independientes elementos de $\Lambda$,, a continuación, $D$ contiene fundamental de dominio para $\Lambda$, decir $F$; hemos $$ 1 + 2N_{s,t} = \#(\Lambda\cap D_{s,t}) = \sum_{\mathbf x\in\Lambda\cap D_{s,t}} m(\mathbf x + F) = m\left(\bigcup_{\mathbf x\in\Lambda\cap D_{s,t}}(\mathbf x + F)\right) \leq m(2D_{s,t}) = 4a, $$ lo que implica que (4) se mantiene. Del mismo modo, si $D_{s,t}\cap\Lambda = \{\mathbf 0\}$, entonces (4) se mantiene.

Entonces, si asumimos que (4) falla por algún par de $(s,t)$, luego tenemos a $D_{s,t}\cap\Lambda = D_{s,t}\cap \mathbb Z\mathbf x$ para algunos $\mathbf x = (q,r)\in D_{s,t}\cap\Lambda^*$. De ello se sigue que $$ \max(1,3 st - 1/2) \leq N_{s,t} = \left\lfloor \min\left(\frac sq,\frac t{|r|}\right)\right\rfloor \leq \min\left(\frac sq,\frac t{|r|}\right) $$ y así $$ \frac{st}{q|r|} \geq \min\left(\frac sq,\frac t{|r|}\right)^2 \geq \max(1,3 st - 1/2)^2 \geq \max(1,3 st - 1/2) \geq 2º, $$ por lo $q|r| = q|q\pi - p| \leq 1/2$. Un conocido teorema de ahora implica que $p/q$ es convergente de $\pi$, es decir, $(q,p) = (q_n,p_n)$ para algunos $n\in\mathbb N$. Así que si nos vamos a $$ \Lambda_c = \{(k q_n, k(q_n\pi - p_n)) : n,k\in\mathbb N\} $$ entonces $$ N_{s,t} = \#(\Lambda_c\cap D_{s,t}). $$ En otras palabras, los únicos puntos que están contribuyendo a que el integrando de (3) son los puntos que vienen de $\Lambda_c$. Invirtiendo el argumento de (3) ahora da $$ S \leq C + \sum_{\substack{(q,r)\in\Lambda_c \\ q > 0 \\ -1/2 < r < 1/2}} \frac{1}{q^3 |r|^2}, $$ donde $C < \infty$ es una constante que describe un límite superior en la contribución a la integral (3) de los pares de $(s,t)$ satisfactorio (4). Por lo tanto, $$ S \leq C + \sum_{n = 1}^\infty \sum_{k = 1}^\infty \frac{1}{(k q_n)^3 (k(q_n \pi - p_n))^2} = C+\zeta(5)\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{q_n^3 (q_n \pi - p_n)^2}\cdot $$ De ello se sigue que (1) converge si, y sólo si (2) converge.

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Si esta prueba no era demasiado técnica a seguir, voy a tratar de resumir las ideas principales: en Primer lugar, cualquier número racional $p/q$ que no es convergente de $\pi$ debe satisfacer $q|q\pi - p| > 1/2$ (este es un hecho bien conocido). Por sí mismo este hecho no es suficiente para garantizar que los términos procedentes de la convergents no hacer la serie (2) divergen, ya que terminan comparando con la serie armónica, que (apenas) diverge. Pero eso es sólo la más cruda posible obligado: la mayoría de los racionales $p/q$ va a satisfacer $q|q\pi - p| \gg 1$. Puesto que (2) implica una suma sobre todos los $q$, habrá un montón de "promedio", y así los "picos" que se producen cuando las $q|q\pi - p|$ es pequeña debe ser lavada en el largo plazo. Con el fin de formalizar esto es necesario hablar de las rejillas y fundamental de dominios - básicamente, la idea es que el número de puntos de intersección de la rejilla con un convexo de forma centralizada simétrica región es aproximadamente la misma que el área de la región, excepto en algunos casos excepcionales; estos casos excepcionales resultan corresponden a la convergents de $\pi$.

Corolario: Si el exponente de la irracionalidad de $\pi$ es estrictamente menor que $5/2$, entonces el Flint Hills de la serie converge. Prueba: Si $\mu(\pi) < 5/2$, entonces no existe $\varepsilon > 0$ tal que para todos, pero un número finito de $n$, tenemos $$ |q_n \pi - p_n| \geq q_n^{-3/2 + \varepsilon}. $$ Esto le da la siguiente cota superior de (1): $$ \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{q_n^3 (q_n^{-3/2 + \varepsilon})^2} = \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{q_n^{2\varepsilon}}\cdot $$ Pero dado que la secuencia de $(q_n)_1^\infty$ debe crecer al menos exponencialmente rápido, esta serie converge.

Answer 3

La respuesta de Wadim Zudilin se amplía aún más en http://arxiv.org/abs/1104.5100 (Max A. Alekseyev, Sobre la convergencia de la serie Flint Hills).