¿Por qué preocuparse por el axioma de elección?

Question

Según entiendo, se ha demostrado que el axioma de elección es independiente de los otros axiomas de la teoría de conjuntos. Sin embargo, aún veo a gente discutiendo si el teorema X depende o no de él, y no veo la razón. Sí, se pueden demostrar cosas bastante perturbadoras, pero simplemente no siento que valga la pena perder el sueño por ello si ninguna de esas cosas perturbadoras entra en conflicto con el resto de las matemáticas. La discusión parece aún más inútil en vista del hecho de que virtualmente ninguno de los fenómenos extraños puede ocurrir en presencia de incluso suposiciones de regularidad leves, como "medible" o "finitamente generado".

Así que permítanme plantear dos preguntas específicas:

Si estoy trabajando en un problema que no está directamente relacionado con la lógica o la teoría de conjuntos, ¿se puede obtener una perspicacia matemática importante al entender su dependencia del axioma de elección?

Si estoy trabajando en un problema y encuentro una demostración de dos páginas que utiliza el hecho de que todo anillo conmutativo tiene un ideal maximal, pero puedo imaginar una demostración de diez páginas que evita el axioma de elección, ¿hay algún sentido en el que mi demostración de dos páginas sea "peor" o menos útil?

La única respuesta a estas preguntas que se me ocurre es que un objeto cuya existencia depende genuinamente del axioma de elección no admite una construcción explícita, y esto podría valer la pena saberlo. Pero aun así, esto es en gran medida insatisfactorio, porque a menudo estos resultados toman la forma de "para todo espacio topológico existe X..." y un X asociado a un espacio topológico específico generalmente no es más patológico que el espacio topológico con el que empezaste.

¡Gracias de antemano!

Answer 1

La mejor respuesta que he oído nunca --- y creo que he oído aquí en MathOverflow de Mike Shulman, lo que sugiere que esta pregunta es de aproximadamente duplican en alguna otra parte --- es que usted debe preocuparse acerca de construcciones "interna" a otras categorías:

1. Para muchas, muchas aplicaciones, uno quiere "topológico" objetos: espacios vectoriales topológicos, topológica de los anillos, topológicos, grupos, etc. En general, para cualquier algebraicas gadget, hay una correspondiente topológico gadget, por la redacción de la definición original (a la Bourbaki) enteramente en términos de conjuntos y funciones, y, a continuación, colocación de cada serie mediante un espacio topológico y requiriendo que cada función sea continua.
2. Estrechamente relacionados con el ejemplo es que usted puede ser que desee "Mentira" de los objetos: los conjuntos son reemplazados por la suave colectores y funciones por la suave mapas.
3. Otro estrechamente relacionado con ejemplo es el trabajo totalmente dentro de la "algebraica" de la categoría.

En todos estos casos, el "axioma de elección" falla. De hecho, desde el interior de la categoría de perspectiva, el axioma de elección es la siguiente declaración simple: cada surjection ("epimorphism") se divide, es decir, si $f: X\to Y$ es un surjection, entonces existe $g: Y \to X$, de modo que $f\circ g = {\rm id}_Y$. Pero esto es simplemente falso en la topológica, la Mentira, y algebraicas categorías.

Esto conduce a todo tipo de extra rica estructura si usted álgebra interno a estas categorías. Usted tiene que empezar a pensar acerca de paquetes en lugar de productos, no puede ser "anomalías", etc.

Actualización:

En los comentarios, no fue una petición de una manera totalmente explícita ejemplo, donde el Axioma de Elección se utiliza con frecuencia, pero no es necesario. Aquí uno que yo necesitaba recientemente. Deje $\mathcal C$ ser un abelian tensor de la categoría, por lo cual quiero decir que es abelian, tiene una estructura monoidal $\otimes$ que es biadditive en hom-conjuntos, y que cuenta con un distinguido natural isomorfismo $\text{flip}: X\otimes Y \overset\sim\to Y\otimes X$ que es una "simetría" en el sentido de que $\text{flip}^2 = \text{id}$. A continuación, en $\mathcal C$ es que tiene sentido hablar de "Mentira álgebra objetos" y "álgebra asociativa de los objetos", y dada un álgebra asociativa $A$ puede definir una Mentira álgebra "$[x,y] = xy - yx$", donde este se corto la mano para $[,] = (\cdot) - (\cdot \circ \text{flip})$ — $x,y$ no debe ser leído como elementos, pero como algún tipo de generalización. Por lo que podemos sentido de las categorías de $\text{LIE}_{\mathcal C} = $"álgebras de Lie en $\mathcal C$" e $\text{ASSOC}_{\mathcal C} = $"álgebras asociativas en $\mathcal C$", y tenemos un olvidadizo functor $\text{Forget}: \text{ASSOC}_{\mathcal C} \to \text{LIE}_{\mathcal C}$.

Entonces uno puede preguntarse si $\text{Forget}$ ha dejado adjoint $U: \text{LIE}_{\mathcal C} \to \text{ASSOC}_{\mathcal C}$. Si $\mathcal C$ admite arbitraria contables directos sumas de dinero, entonces la respuesta es sí: el tensor de álgebra es de allí y bien definido, y tan sólo el cociente como normalmente lo haría, teniendo cuidado de escribir todo en términos de objetos y morfismos en lugar de los elementos. En particular, si $\mathfrak g \in \text{LIE}_{\mathcal C}$,, a continuación, $U\mathfrak g \in \text{ASSOC}_{\mathcal C}$ y es universal con respecto a la propiedad que no es una Mentira álgebra homomorphism $\mathfrak g \to U\mathfrak g$.

Digamos que $\mathfrak g$ es representable si el mapa $\mathfrak g \to U\mathfrak g$ es un monomorphism en $\text{LIE}_{\mathcal C}$. Por la universalidad, si hay cualquier álgebra asociativa $A$ y un monomorphism $\mathfrak g \to A$,, a continuación, $\mathfrak g \to U\mathfrak g$ es mono, así que esto es realmente la condición de que $\mathfrak g$ tiene algunos fieles de la representación. La afirmación de que "Cada Mentira álgebra es representable" es normalmente conocido como el de Poincaré-Birkoff-Witt teorema.

El punto importante es que la prueba usual de la Birkoff y Witt dio — requiere el Axioma de Elección, debido a que se requiere recoger un espacio vectorial, y por lo que sólo funciona al $\mathcal C$ es la categoría de $\mathbb K$ espacios vectoriales para $\mathbb K$ un campo, o más en general, al $\mathcal C$ es la categoría de $R$-módulos para $R$ a un anillo conmutativo y $\mathfrak g$ es un libre $R$-módulo, o en realidad, la prueba puede ser arbitrarias de dominios de Dedekind $R$. Pero en muchos abelian categorías de interés de este enfoque es insostenible: no todos los abelian categoría es semisimple, e incluso aquellos que a menudo no tienen acceso a las bases. Así que usted necesidad de otras pruebas. Siempre que $\mathcal C$ está "$\mathbb Q$ " (hom conjuntos de $\mathbb Q$-espacios vectoriales, etc.), una prueba de que funciona de manera constructiva, sin otras restricciones en $\mathcal C$ está disponible en

• Deligne, Pierre; Morgan, John W. Notas sobre la supersimetría (siguiendo a José Bernstein). Cuántica de campos y cuerdas: un curso para los matemáticos, Vol. 1, 2 (Princeton, NJ, 1996/1997), 41--97, Amer. De matemáticas. Soc., Providence, RI, 1999. MR1701597.

Dan una referencia a

• Corwin, L.; Ne'eman, Y.; Sternberg, S. Clasificados álgebras de Lie en matemáticas y física (Bose-Fermi de simetría). Apo. Moderno Phys. 47 (1975), 573--603. MR0438925.

en el que la prueba se da cuando la $\mathcal C$ es la categoría de los módulos de un (super)conmutativa anillo de $R$, con $\otimes = \otimes_R$, y, sobre todo, $2$ e $3$ son tanto invertible en $R$. [Edit: he dejado un comentario 28 de julio de 2011, por debajo, sino que debe incluir de manera explícita, que Corwin--Ne'eman--Sternberg exigen más condiciones en $\mathcal C$ de $2$ e $3$ es invertible. Ciertamente, como se dijo "AFP tiene al $6$ es invertible" es incompatible con los ejemplos de Cohn más abajo.]

Finalmente, con $R$ cualquier anillo conmutativo y $\mathcal C$ la categoría de $R$-módulos, si $\mathfrak g$ es de torsión libre como un $\mathbb Z$-módulo, a continuación, es representable. Esto queda demostrado en:

• Cohn, P. M. Un comentario sobre el Birkhoff-Witt teorema. J. Londres Matemáticas. Soc. 38 1963 197--203. MR0148717

Así que parece que casi todas las álgebras de Lie son representables. Pero en particular Cohn da ejemplos característicos $p$ para que AFP falla. Su ejemplo es como sigue. Deje $\mathbb K$ ser algún campo de la característica $p\neq 0$; luego, en la libre álgebra asociativa $\mathbb K\langle x,y\rangle$ en dos generadores de los que hemos $(x+y)^p - x^p - y^p = \Lambda_p(x,y)$ es no-cero Mentira de la serie. Deje $R = \mathbb K[\alpha,\beta,\gamma] / (\alpha^p,\beta^p,\gamma^p)$ ser un anillo conmutativo, y definir $\mathfrak g$ la Mentira de álgebra sobre $R$ a ser generados por $x,y,z$ con la única definición de la relación ser que $\alpha x = \beta y + \gamma z$. A continuación, $\mathfrak g$ no es representable en la categoría de $R$-módulos: $\Lambda_p(\beta y,\gamma z)\neq 0$ en $\mathfrak g$, pero $\Lambda_p(\beta y,\gamma z)= 0$ en $U\mathfrak g$.

Answer 2

Cómo Aprendí a Dejar de Preocuparme y Amar el Axioma de Elección

El universo puede ser un lugar muy extraño sin elección. Una consecuencia del Axioma de Elección es que cuando se divide un conjunto en partes disjuntas no vacías, entonces el número de partes no supera el número de elementos del conjunto que se está dividiendo. Esto puede fallar sin el Axioma de Elección. De hecho, si todos los conjuntos de números reales son medibles de Lebesgue, entonces es posible dividir $2^{\omega}$ en más de $2^{\omega}$ muchos conjuntos disjuntos entre sí y no vacíos!

Answer 3

Sí, muchas personas siguen discutiendo sobre el Axioma de Elección.

Al menos parte de la explicación de por qué la gente sigue discutiendo como lo hacen sobre el Axioma de Elección es seguramente el hecho histórico de que hubo un período de varias décadas durante el cual no se sabía que el axioma era relativamente consistente con los otros axiomas de la teoría de conjuntos. Después de todo, no fue hasta 1938 que Gödel demostró la consistencia relativa de ZFC sobre ZF, usando el universo construible, y pasaron varias décadas más hasta que Paul Cohen completó la prueba de independencia al demostrar que ¬AC también es relativamente consistente con ZF, utilizando el método de forzamiento en 1962. Fue durante estos tiempos intermedios, y especialmente en el tiempo antes de 1938 cuando no se sabía que el axioma era consistente, que se estaban descubriendo las consecuencias cada vez más extrañas de AC, y así naturalmente se desarrolló el hábito de prestar mucha atención cuando se usaba el axioma. Este hábito seguramente disminuyó después de los resultados de independencia, pero no fue abandonado por todos. Y así hoy las matemáticas están pobladas por un gran número de matemáticos como tú (y tal vez como yo), que utilizan libremente AC sin preocuparse, y que incluso pueden encontrar que las posibilidades que ocurren en situaciones no-AC, como conjuntos infinitos de Dedekind finitos, sean aún más extrañas que las supuestas no-regularidades de AC, como la existencia de conjuntos no medibles.

Aún así, aunque en gran medida estoy de acuerdo con el sentimiento que indicas en tu pregunta, todavía hay alguna razón para prestar atención a AC. Primero, en situaciones matemáticas donde se puede demostrar la existencia de una estructura matemática sin AC, entonces a menudo siguen importantes consecuencias sobre la complejidad de esa estructura. Una construcción explícita, incluso si es más complicada que una prueba de existencia pura a partir de AC, a menudo lleva consigo información computacional sobre la naturaleza del objeto construido, como si es analítico o Borel o $\Delta^1_2$, y así sucesivamente, y estos problemas de complejidad pueden afectar otros argumentos sobre la medibilidad y demás. Es decir, por naturaleza las construcciones no-AC son más explícitas y estos argumentos más explícitos a menudo llevan más información.

Pero segundo, todavía existen ciertas partes de la investigación teórica de conjuntos que sólo tienen sentido en contextos no-AC. El Axioma de Determinación, por ejemplo, entra en contradicción con el Axioma de Elección pero, sin embargo, contiene un trabajo matemático fascinante y profundo, señalando hacia una especie de paraíso matemático, en el que todo conjunto de reales es medible según Lebesgue, todo conjunto tiene la propiedad de Baire y la propiedad de conjunto perfecto. Este axioma conduce a una visión alternativa de cómo podría ser la teoría de conjuntos. Las posibilidades de AD ponen limitaciones en lo que podemos esperar probar en ZFC, en parte porque esperamos que haya universos teóricos cercanos a nuestro propio donde se cumpla AD. Es decir, estamos interesados en AD incluso si creemos fundamentalmente en AC, porque podemos construir el universo L(R), donde AD podría mantenerse, incluso si AC se cumple en el universo externo V. Para entender L(R), necesitamos saber en qué teoremas podemos confiar allí, y por lo tanto necesitamos saber dónde usamos AC.

Answer 4

Puede haber razones para preocuparse por el axioma de elección porque hay categorías en las que los epimorfismos no se dividen. Sin embargo, si uno se adhiere a la categoría de conjuntos, mi posición podría ser (de manera provocativa) descrita de la siguiente manera: El axioma de elección es obviamente falso pero eso no me impide usarlo.

Antes de explicar por qué creo que es falso, permítanme hacer una observación general. La teoría de conjuntos es un modelo matemático para las matemáticas, no es matemáticas en sí misma. Todos sabemos que los modelos suelen ser capaces de modelar alguna parte de lo que representan, pero casi nunca modelan todo correctamente. Las cosas son un poco más complicadas en el caso de la teoría de conjuntos, pero también se supone que es el lenguaje común de las matemáticas. Sin embargo, realmente funciona como un protocolo de resolución de conflictos; en caso de que estemos en desacuerdo sobre una prueba, se supone que debemos llegar a la teoría formal de conjuntos donde no podría haber conflictos. Sin embargo, la mayoría de los matemáticos preferirían, creo, someterse voluntariamente a una flagelación extendida que trabajar realmente con la teoría formal de conjuntos. Afortunadamente, en la práctica todas las disputas se resuelven mucho antes de llegar a ese nivel. Además, la mayoría de los matemáticos activos muestran una actitud despreocupada hacia la teoría de conjuntos. Es bastante común hablar del grupo libre en clases de isomorfismo de objetos en alguna categoría grande, lo cual no es posible en teoría de conjuntos formal ya que las clases de isomorfismo son ellas mismas clases propias y por lo tanto no pueden ser miembros de alguna clase. Por supuesto, cuando se presiona, un matemático que use tal frase probablemente la modificaría hablando de esqueletos, pero una vez fui criticado por usar una formulación ligeramente diferente que evitaba el problema sin mencionar esqueletos como incorrecta por razones teóricas de conjunto. (Esto no es una crítica a la persona en cuestión, un matemático activo debería tener el derecho de ignorar las partes complicadas de la teoría de conjuntos, ¡a su propio riesgo, por supuesto!)

Ahora, la razón por la que creo que el axioma de elección es obviamente falso es que nos da una incrustación del campo de los números $p$-ádicos en $\mathbb C$, lo cual parece sospechoso ya que se construyen de formas tan diferentes. De hecho, si intentas definir esa incrustación pidiendo que cumpla más condiciones, entonces no existe. Esto es cierto si pides que sea medible o tome números definibles a números definibles y así sucesivamente. Mi sensación es que su existencia es tan contraintuitiva que no podría existir. Por otro lado, tal incrustación se utiliza una y otra vez, por ejemplo, en la teoría de cohomología $\ell$-ádica. Es verdad que en ese caso al menos se puede evitar (Deligne parece compartir parte de mi incredulidad ya que en su segundo papel sobre la conjetura de Weil comienza con una breve discusión sobre cómo evitarlo pero aún lo utiliza ya que reduce argumentos poco interesantes).

My feeling about the axiom of choice is pragmatic; it is useful and doesn't seem to get us in trouble so I have no qualms using it (even though I don't believe in it fully). I have also a picture of sets which could be used to justify this contradictory (I am not trying to formalise it so it should not be considered a competing model of mathematics). To me all elements of a set are not on equal footing. Taking my cue from algebraic geometry, there are closed points which are "real" elements but also non-closed points. Hence, the set of embeddings of the $p$-adic numbers in $\mathbb C$ is under the axiom of choice a non-empty set but in my opinion it does not contain any closed points. (In fact all its elements are probably generic, i.e., their closure is the whole set.) As long as you only deal with "concrete" objects (which should be closed in any set in which they are contained but maybe should be something more) the conclusions about them that are obtained by using the axiom of choice should be OK.

Answer 5

Me gustaría señalar que muchas de las personas que están interesadas en el Axioma de Elección (AC) no están preocupadas por él de ninguna manera matemática.

En general, creo que "¿Por qué la gente se preocupa por X?" es principalmente psicológico. Puedo (y lamentablemente, lo hago) preocuparme por la corrección de mis pruebas por muchas razones... pero fundamentalmente estoy preocupado por mí mismo y no por algún objeto o principio matemático.

De hecho, no veo qué hay que preocuparse acerca de AC. Sabemos que es independiente de ZF, sabemos que tiene algunas consecuencias contra-intuitivas, y sabemos que muchos de nuestros teoremas "abstractos" más básicos y fundamentales requieren que AC se cumpla en toda su generalidad (en el sentido de que hay modelos de ZF en los que son falsos) o de hecho son equivalentes a AC: por ejemplo, cada espacio vectorial tiene una base (equivalente), el producto de espacios cuasi-compactos es cuasi-compacto (equivalente), cada campo tiene un cierre algebraico (necesario), cada anillo tiene un ideal maximal (equivalente), ... Creo que tenemos toda la información que necesitamos sobre el papel de AC en las matemáticas.

Por otro lado, si te encuentras con un teorema, a menudo es interesante preguntarse si la prueba utiliza AC y, si lo hace, si se puede modificar para no requerir AC o solo requerir alguna forma más débil de AC. Como ejemplo, hice la siguiente pregunta en MO

¿Cuánta elección se necesita para demostrar que los campos formalmente reales se pueden ordenar?

y la respuesta fue una referencia a un documento donde se demostró que la ordenabilidad de los campos formalmente reales es equivalente al Teorema de los Ideales Primos Booleanos. Es un documento interesante; Aprendí más sobre teoría de campos (no teoría de conjuntos) al leerlo.

¿Por qué es interesante preguntarse si una prueba requiere AC? En primer lugar, por razones válidas (¡no preocupaciones!) la gente está interesada en hacer pruebas constructivas tanto como sea posible. ¿Dices que has demostrado que para cada campo numérico $K$ y cada entero positivo $n$, existe una curva de género uno $C_{/K}$ tal que el menor grado de un punto cerrado en $C$ es igual a $n$? (¡Sí que he!). Bien, te daré $K$ y $n": ¿puedes darme un conjunto explícito de ecuaciones definitorias que definen tal curva? (¡No, no puedo!) Mi teorema sería mejor si pudiera ser explícito -- ¡es obvio, ¿no lo es?

Es una "meta-teorema" generalmente aceptado que si un resultado se muestra que requiere AC, entonces es ciertamente no constructivo. Por lo tanto, si uno está tratando de hacer que un cierto resultado sea constructivo, ciertamente le gustaría saber si AC está involucrado esencialmente en su prueba.