Supongamos que tengo una pequeña categoría $ \mathcal{C} $ que está fibrado sobre alguna categoría $\mathcal{I}$ en sentido categórico. Es decir, existe un functor $\pi : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{I}$ que es un fibrado de categorías. (Una forma de decir esto, supongo, es que $\mathcal{C}$ tiene un sistema de factorización que consiste en flechas verticales, es decir, las que $\pi$ envía a una flecha de identidad en $\mathcal{I}$ y las flechas horizontales, que son las que no lo hacen. Pero hay muchas otras caracterizaciones).
Ahora dejemos que $F : \mathcal{C} \rightarrow s\mathcal{S}$ sea un diagrama de conjuntos simpliciales indexados por $\mathcal{C}$ . Mi pregunta se refiere al límite de homotopía de $F$ . La intuición me dice que debería haber una equivalencia
$$ \varprojlim_{\mathcal{C}} F \simeq \varprojlim_{\mathcal{I}} \left (\varprojlim_{\mathcal{C}_i} F_i \right ) $$
donde escribo $\mathcal{C}_i = \pi^{-1}(i)$ para cualquier $i \in \mathcal{I}$ , $F_i$ para la restricción de $F$ a $\mathcal{C}_i$ y $\varprojlim$ para el límite de homotopía.
Intuitivamente esto dice que cuando $\mathcal{C}$ está fibrado sobre $\mathcal{I}$ puedo encontrar el límite de homotopía de un $\mathcal{C}$ diagrama de espacios formando primero el límite de homotopía de todas las fibras, comprendiendo que esta colección tiene un $\mathcal{I}$ indexación, y luego tomar el límite de homotopía del diagrama resultante.
¿Alguien conoce un resultado como éste en la literatura de la categoría de modelos?
Actualización: Después de leer las respuestas, pude encontrar un buen conjunto de ejercicios aquí que pasan por este resultado en su versión de colímite de homotopía.
