Resumen ejecutivo: Si usted mira todo el esquema de Hilbert asociado a un polinomio, el lugar geométrico de los puntos correspondientes a nonsingular (que aprovecho para decir lisa) subschemes a veces puede ser muy pequeña en términos de dimensión y número de irreductible componentes. Lo que en este sentido, la mayoría de los subschemes están en singular.
Detalles: El esquema de Hilbert $\operatorname{Hilb}^P_{\mathbf{P}^n}$ asociado a un polinomio de Hilbert $P$ está conectado (el teorema de Hartshorne), pero en general tiene muchas irreductible componentes, cada uno con su propio punto genérico. Por lo tanto existen diferentes tipos de "genérico" cerrado subschemes con el mismo polinomio de Hilbert, cada miembro de una familia diferente.
El lugar geométrico de los puntos en el esquema de Hilbert correspondiente a lisa (=nonsingular) subschemes de $\mathbf{P}^n$ es un abierto Zariski subconjunto, lo que implica que es Zariski densa en la unión de los componentes que se cumple, pero a menudo hay otros componentes del esquema de Hilbert en la que todos los puntos se corresponden con singular subschemes.
Debido a que el esquema de Hilbert no tienen necesidad de un genérico único punto, uno podría preguntarse: ¿cuántos de estos genéricos, puntos de parametrizar singular subschemes, y ¿cuáles son las dimensiones de los componentes correspondientes del esquema de Hilbert?
Como un estudio de caso, considere el esquema de Hilbert $H_{d,n}$ de % de $d$ puntos en $\mathbf{P}^n$, es decir, el caso en que $P$ es el polinomio constante $d$. Puntos de $H_{d,n}$ sobre un campo $k$ corresponden a $0$-dimensiones subschemes $X \subseteq \mathbf{P}^n$ de la longitud de la $d$, o en otras palabras, de tal manera que $\dim_k \Gamma(X,\mathcal{O}_X) = d$. Cada liso $X$ con este polinomio de Hilbert es un discontinuo de la unión de $d$ puntos distintos. Estos liso $X$'s se corresponden con los puntos de una irreductible subscheme de $H_{d,n}$, y al cierre de esta irreductible subscheme es una $dn$-dimensiones irreductibles componente $R_{d,n}$ de % de$H_{d,n}$. A veces $H_{d,n}=R_{d,n}$, lo que significa que todos los $X$ es smoothable. Pero para cada uno de ellos fijo $n \ge 3$, Iarrobino observa que el $\dim H_{d,n}$ crece mucho más rápido que $\dim R_{d,n}$ as $d \to \infty$. (Él lo demostró por escrito las grandes familias de $0$-dimensiones subschemes, como $\operatorname{Spec} (k[x_1,\ldots,x_n]/\mathfrak{m}^r)/V$ donde $\mathfrak{m}=(x_1,\ldots,x_n)$ e $V$ rangos de subespacios de dimensión fija en $\mathfrak{m}^{r-1}/\mathfrak{m}^r$.) Esto demuestra que $H_{d,n}$ no es irreducible para tal $d$ e $n$, y que el `malo" de todos los componentes de cuyos puntos parametrizar singular subschemes puede tener mucho mayor dimensión que el componente en el cual una densa abrir subconjunto de puntos de parametrizar suave subschemes. Con un poco más de trabajo, uno puede demostrar que el número de irreductible componentes de $H_{d,n}$ puede ser arbitrariamente grande (y como ya se comentó, los mismos componentes pueden tener mayor dimensión de $R_{n,d}$). Lo que en este sentido, se podría decir que para $n \ge 3$, la mayoría de las $0$-dimensiones subschemes en $\mathbf{P}^n$ están en singular.
Para obtener más detalles acerca de $H_{d,n}$, incluyendo ejemplos explícitos de nonsmoothable $0$-dimensiones planes, vea los artículos siguientes y las referencias citadas en el mismo:
El espacio de moduli de conmutativa álgebra de operadores de rango finito
Hilbert esquemas de 8 puntos
(Advertencia: mi notación $H_{d,n}$ es diferente de la notación de los artículos).
