Diferenciación de una función $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ (Cálculo racional)

Question

Supongamos que $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ es tal que $\forall a\in \mathbb{Q}$ existe el siguiente límite

\begin{equation} \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\in \mathbb{R} \end{equation}

¿Es cierto que el límite anterior es un número racional?

Answer 1

Es falso: Yo definiría algo a trozos constante y discontinuo en irracional $x$ como $f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ por:

$f(x) = 1$ para $x > \frac{1}{\sqrt{2}}$

$f(x) = \frac{1}{2}$ para $\frac{1}{3\sqrt{2}}<x<\frac{1}{2\sqrt{2}}$

$f(x) = \frac{1}{3}$ para $\frac{1}{4\sqrt{2}}<x<\frac{1}{3\sqrt{2}}$ y así sucesivamente para $x$ y $f(0) = 0$ .

Del mismo modo, para $x$ definir:

$f(x) = -1$ para $x < -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$f(x) = -\frac{1}{2}$ para $-\frac{1}{2\sqrt{2}}<x<-\frac{1}{3\sqrt{2}}$

$f(x) = -\frac{1}{3}$ para $-\frac{1}{3\sqrt{2}}<x<-\frac{1}{4\sqrt{2}}$ etc. Entonces $f$ es diferenciable (ya que es constante) en todos los racionales $x$ distinto de 0, y $f'(0) = \sqrt{2}$ .