La resultante y el ideal generado por dos polinomios en $\mathbb{Z}[x]$

Question

Un colega me hizo la siguiente pregunta y me dio vergüenza no saber la respuesta.

Dejemos que $f(x), g(x) \in \mathbb{Z}[x]$ sin raíz en común. Sea $I = (f(x),g(x))\cap \mathbb{Z}$ es decir, los elementos de $\mathbb{Z}$ que son combinaciones lineales de $f(x), g(x)$ con coeficientes en $\mathbb{Z}[x]$ . Entonces $I$ es claramente un ideal en $\mathbb{Z}$ . Sea $D>0$ sea un generador de este ideal. La pregunta es: ¿qué es $D$ ?

Ahora, tenemos la resultante estándar $R$ de $f,g$ que, bajo nuestras hipótesis, es un número entero no nulo. Sabemos que $R \in I$ y no es difícil demostrar que un primo divide $R$ si y sólo si divide $D$ . Pensé que $R = \pm D$ pero los ejemplos demuestran que no es así.

Answer 1

Esta cantidad $D$ se conoce como el "número de congruencia" o "resultante reducida" de los polinomios f y g. Lo vi por primera vez en un preprint de Wiese y Taixes i Ventosa, http://arxiv.org/abs/0909.2724 . Atribuyen el concepto a un documento del que no tengo copia:

M. Pohst. Una nota sobre los divisores de índices . En Teoría computacional de los números (Debrecen, 1989) , 173- 182, de Gruyter, Berlín, 1991.

Answer 2

Esta diferencia era bien conocida en el siglo XIX cuando la gente a) conocía los invariantes, y b) se calculaban a mano. Creo que gran parte de la confusión actual proviene del libro de Álgebra de Lang que, en el mejor de los casos, induce a error sobre cómo interpretar lo que son la resultante y el discriminante (y las ideas de los libros famosos, correctas o incorrectas, tienden a perpetuarse en los libros de otras personas).

Como ejemplo, la resultante de los dos polinomios $3x+1$ y $3x+2$ es, según la definición de la matriz de Sylvester, igual a $3$ . Aquí Voloch's $D=1$ . Seguramente esto no tiene sentido según la conocida teoría, de que un primo $p$ dividiendo la resultante de dos polinomios debe interpretarse como que estos polinomios comparten una raíz cuando se reducen mod $p$ ? Evidentemente, esto no tiene sentido en este ejemplo... a no ser que se reinterpreten estos polinomios de forma proyectiva (que es lo que se debería hacer).

Pero ahora si miramos el par de polinomios $y+2$ y $3y+2$ entonces la resultante es $4$ y aquí $D=4$ pero, ¿cómo interpretas aquí $2^2$ ¿dividiendo la resultante? ¡No es inmediato desde la interpretación de los libros de álgebra modernos!

Hay todo tipo de razones por las que las potencias primarias pueden dividir una resultante (y un discriminante) y es complicado entender todos los casos cuando se quiere interpretar la divisibilidad de las potencias superiores.

En el trabajo de Bhargava, necesita entender los valores libres de cuadrados de un polinomio multivariable que es el valor de un discriminante de una clase de polinomios parametrizados. En otras palabras, necesita parametrizar cuando $p^2$ divide los términos en esta clase particular de discriminantes. Incluso esta petición relativamente sencilla se descompone en varios casos no triviales, que él maneja tan bellamente como para que parezca trivial, pero no lo es.

Answer 3

Un ejemplo interesante en el que la resultante y la "resultante reducida" difieren viene de la teoría de las curvas elípticas. Tomemos una curva elíptica $$E:\qquad y^2=x^3+ax+b$$ donde $a$ y $b$ son números enteros. La fórmula de duplicación para $E$ afirma que en la curva elíptica $[2] (x_1,y_1)=(x_2,y_2)$ donde $x_2=g(x_1)/4f(x_1)$ , $$f(x)=x^3+ax+b\qquad{\rm and}\qquad g(x)=x^4-2ax^2-8bx+a^2.$$ La resultante de $f$ y $g$ es $(4a^3+27b^2)^2$ (el cuadrado de el discriminante de $E$ por lo que no es cero). Pero la resultante reducida es $|4a^3+27b^2|$ lo que se ve al observar que esto divide a todos los entradas de la adjunta de la "matriz resultante" de $f$ y $g$ .

El hecho de que esta resultante sea distinta de cero se utiliza en una prueba estándar de la desigualdad $$h([2] P)\ge 4 h(P)-O(1)$$ para la altura ingenua en $E$ (ver el libro de Silverman).

Answer 4

$D=D(f,g)$ no se comporta especialmente bien, ¿verdad? Por ejemplo, no es multiplicativo en las variables: si $g=x^2+1$ (este ejemplo no tiene nada de especial, sólo estoy fijando ideas) entonces $D(f,g)$ es la intersección de $\mathbf{Z}$ y el ideal generado por $f(i)$ en $\mathbf{Z}[i]$ . Así, por ejemplo, si $f$ es $x+2$ se obtienen 5, si $f$ es $x-2$ se obtiene 5 también (del otro ideal primo por encima de 5) y si $f$ es $x^2-4$ el producto, aún así sólo se obtiene 5 (lo que por supuesto proporciona una prueba de que $D$ no es la resultante en general).

Me parece que la norma de $f(i)$ sería un invariante mucho mejor, que se generalizaría al tamaño del anillo $\mathbf{Z}[x]/(f,g)$ . No me sorprendería que esa fuera la resultante (o que estuviera estrechamente relacionada con ella), y si lo es entonces eso es al menos algún tipo de relación. Aunque quizás ya lo sabías ;-)

Answer 5

Este tema llamó mi atención por primera (y única, hasta ahora) vez cuando Gregory Dresden dio una charla sobre resultantes de polinomios ciclotómicos en el seminario de teoría de números de la UGA la pasada primavera. Estoy bastante seguro de que la distinción entre estas dos nociones de la resultante ocupó un lugar destacado en su trabajo: véase

http://home.wlu.edu/~dresdeng/papers/Res.pdf

Por lo que sé la pregunta que haces no está resuelta en general, pero en este caso no sé muy lejos. Tal vez quieras preguntarle a Greg...