Escuela italiana de geometría algebraica y pruebas rigurosas.

Question

Muchos de los resultados sorprendentes por el italiano geómetras de la segunda mitad del siglo 19 y la primera mitad del siglo 20 han dado inicialmente heurística explicaciones en lugar de pruebas rigurosas por sus descubridores. Pruebas apareció más tarde. En algunos casos, una intuitiva explicación podría ser más o menos se traduce directamente en un lenguaje moderno. En algunos otros casos, esencialmente nuevas ideas fueron requeridos (por ejemplo, entre otros, la clasificación de superficies algebraicas por Shafarevich del seminario; la construcción de los módulos de espacios de curvas y sus proyectiva compactifications por Deligne, Mumford y Knudsen, la solución de la Luroth problema por Iskovskikh y Manin).

Me gustaría preguntar: ¿cuáles son, en su opinión, el más interesante de los resultados obtenidos por la pre-1950 italiano geómetras que aún no cuentan con una rigurosa prueba?

[Este es un wiki de la comunidad, ya que puede haber varias respuestas, ninguna de las cuales es la "correcta"; sin embargo, por favor incluya tantas cosas como sea posible por publicar -- esta no es la intención como un concurso de popularidad.]

[upd: desde que me recibiendo mucho menos respuestas que yo esperaba (de hecho, la única hasta el momento), me gustaría aclarar un par de cosas: como se mencionó en los comentarios, yo estaría interesado igualmente en los resultados que son "un poco falso", pero se cree que ser esencialmente correcta, por ejemplo, una clasificación con un caso particular que faltan, etc. Yo también estoy interesado en los generalizaciones que todavía no han sido probadas tales como la extensión de un resultado finito de característica etc.]

Answer 1

Severi demostrado que el espacio de moduli de curvas de $M_g$ es unirational al $g$ es en la mayoría de las $10$. Esto ha sido hecho riguroso. Severi más conjeturó que el espacio de moduli es unirational para todos los valores de $g$, pero este fue célebremente desmentido por Eisenbud, Harris, y Mumford. Ellos nos demuestran que $\overline{M}_g$ es de tipo general al $g \geq 24$. Farkas ha demostrado que es de tipo general al $g = 22$. Es sabido que cuando $g \leq 14$ el espacio de moduli es unirational, pero creo que para el resto de los valores de $g$, este problema sigue abierto.

Answer 2

El ejemplo más divertido que conozco es el número de cónicas tangentes a cinco cónicas. Ahora hay varias pruebas diferentes, todas basadas en la teoría de intersección moderna. A lo largo de los años, y hasta que Fulton y MacPherson formalizaron / descubrieron / inventaron la teoría de la intersección, las personas dieron varias respuestas incorrectas, así como varias pruebas incorrectas de la correcta.

Answer 3

Yo creo que los Italianos geómetras conjeturó una generalización de Terracini del lema que, si no me equivoco, podría ser cierto, pero es aún desconocido.

Deje $X \subset \mathbb{P}^N$ ser un projetive variedad, más de un algebraicamente cerrado campo de la característica $0$. Denotar por $S(X) \subset \mathbb{P}^N$ el Zariski de cierre del conjunto de punto de mentir en bisecant líneas de a $X$. La variedad $S(X)$ es caled la secante variedad a $X$. Deje $x,y \in X$ ser puntos generales y deje $z$ ser un punto general en $\langle x,y \rangle$ (la línea que une la $x$ e $y$), entonces tenemos:

$$ T_{S(X),z} = \langle T_{X,x}, T_{X,y} \rangle,$$

donde $T_{S(X),z}$ está integrado en el espacio de la tangente a $S(X)$ a $z$ e $\langle T_{X,x}, T_{X,y} \rangle$ es el lineal lapso en $\mathbb{P}^N$ de la tangente espacios a $X$ a $x$ e $y$.

Este resultado, una consecuencia de los genéricos de la suavidad Teorema, se llama Terracini del lema y es debido (probablemente con una rigurosa prueba) para Terracini (como sugiere el nombre!).

Hay una generalización de este resultado que se espera que sea el verdadero ser de la escuela italiana. Denotar por $\delta = 2 \dim X + 1 - \dim S(X)$. El número de $\delta$ se llama la secante-defecto y es la diferencia entre el real y el esperado dimensiones de $S(X)$. Si $x,y \in X$ son puntos generales, Terracini del lema implica inmediatamente que: $$ \dim (T_{X,x} \cap T_{X,y} ) = \delta - 1.$$

Denotamos por $S(X)_{stat}$ el Zariski clausura del conjunto de puntos en $S(X)$ acostado en secantes $\langle x', y' \rangle$ tal que $\dim (T_{X,x'} \cap T_{X,y'}) > \delta -1$. Esta variedad se llama la variedad de stationnary bisecants a $X$.

Estoy bastante seguro de la escuela italiana considera el siguiente hecho para ser verdad:

Hecho : Deje $x',y' \in X$ ser general de los puntos tales que $\langle x',y' \rangle \subset S(X)_{stat}$. Deje $z$ general $\langle x',y' \rangle$, entonces:

$$ T_{S(X)_{stat},z} = \langle T_{X,x'}, T_{X,y'} \rangle.$$

Si $X \subset \mathbb{P}^N$ es una curva, entonces el resultado anterior es fácilmente demostrado ser cierto. De hecho, si $X$ no es una línea, a continuación, $S(X)_{stat}$ es necesariamente una superficie y desde el genérico de la recta tangente a $X$ no es un bitangent, podemos deducir que el resultado es cierto. Creo que también es posible demostrar esta generalización de Terracini del lexema si $X$ es el cierre de la órbita de un algebraicas lineales grupo que actúa linealmente en $\mathbb{P}^N$. Sin duda hay muchos otros casos donde la generalización de Terracini del lexema es conocido para ser verdad.

Por otro lado, estoy bastante seguro de que este resultado es desconocido en general. Podría incluso caer en la caja de la ligeramente resultados falsos, pero que aún son muy interesantes.