¿Hay alguna división infinita de álgebras de división?

Question

Además de lo finito dimensional de la división de álgebras como $\mathbb{R, C, H, O}$

Hay infinitas dimensiones álgebras de división? (Especialmente cualquier "excepcional" queridos?)

Yo estaba pensando que tal vez el anillo sobre polinomios podría ser una división de álgebra si se incluyen los exponentes negativos y permitir la serie infinita. Pero no estoy seguro de si todos los de la serie da un único miembro de la álgebra. Usted podría tener $(1+x)^{-1} = 1-x+x^2-...$

Bueno, supongo que el espacio de funciones es una división de álgebra ya que puede añadir y dividirlos $f(x)g(x)$ e $f(x)/g(x)$ y tiene un elemento de identidad $1$.

¿Y el anillo sobre polinomios con racional o irracional de los exponentes?

O los basados en rejillas?

Answer 1

Las funciones racionales (en una variable) proporcionar un ejemplo de un anillo ... después nos mod a cabo por la correspondiente relación de equivalencia, es decir, "la igualdad fuera de un conjunto finito" (de modo que, por ejemplo,"$x+3$" y "${(x-2)(x+3)\over x-2}$" son la misma cosa). Y las funciones racionales son sólo la punta de un iceberg mucho más grande de "buen comportamiento" de las funciones, especialmente cuando trabajamos sobre $\mathbb{C}$ en lugar de $\mathbb{R}$ (véase la noción de la analítica de la función).

Sin embargo, esta idea no es tan sencilla para conjuntos arbitrarios de funciones. Las funciones racionales son muy bien atendidos, y cuando perdemos que el buen comportamiento de las cosas se ponen muy difíciles. Por ejemplo, supongamos $f(x)=1$ si $x>0$ e $0$ si $x\le 0$, y deje $g(x)=1-f(x)$. A continuación, el producto de $f$ e $g$ es siempre cero la función, pero ambos $f$ e $g$ son cero a un montón de tiempo así que no existe una imagen clara de que un "deber ser" de la cero elemento de nuestra álgebra. En general, la búsqueda de una natural relación de equivalencia hacer una división de álgebra fuera de una determinada clase de las funciones puede ser bastante duro.

Answer 2

Su pregunta describe, en realidad, una dimensión infinita de la división de álgebra - el campo Formal de la serie de Laurent. En particular, los elementos de este campo son sólo expresiones de la forma: $$a_{-k}x^{-k}+a_{-k+1}x^{-k+1}+\ldots+a_{-1}x^{-1}+a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots$$ en los que la serie puede continuar para siempre a la derecha, pero no puede tener un número infinito de términos de exponente negativo (aunque puede tener arbitrariamente a muchos). Tenga en cuenta que no estamos en relación con nosotros mismos, con la convergencia o nada por el estilo, estos son meramente expresiones que se manipula mediante la adición de ellos coeficiente de sabio y multiplicándola por tomar cada par de términos de las dos series, tomando su producto, luego de la recopilación de términos semejantes (que es, para cada coeficiente, de un número finito de proceso debido al hecho de que hay sólo un número finito de términos negativos incluidos en cualquiera de las series).

Es una especie de dolor para escribir la fórmula exacta para el inverso multiplicativo de un elemento, pero usted puede hacerlo bastante bien en dos pasos: en Primer lugar, tenga en cuenta que cada elemento no nulo es de la forma $$c\cdot x^n\cdot F$$ donde $c$ es un elemento del campo estamos tomando nuestro coeficientes de y donde $F$ es de la forma $F=1+a_1x+a_2x^2+\ldots$. Ya que claramente se puede invertir $c$ ya que es simplemente un número real (o algo así) y podemos invertir $x^n$, todo lo que tenemos que hacer es invertir $F$. Podemos hacer que mediante la resolución de $$(1+a_1x+a_2x^2+\ldots)\cdot (1+b_1x+b_2x^2+\ldots)=1+0x+0x^2+\ldots$$ el que da las ecuaciones, para cada una de las $n\geq 1$que $$\sum_{i=0}^{n}a_ib_{n-i}=0$$ que reorganiza a decir $$b_n=-\sum_{i=1}^na_ib_{n-i}$$ después de sacar un término de la suma. Podemos entonces inductivamente averiguar la potencia de la serie inversa a cualquiera de la forma $1+a_1x+a_2x^2+\ldots$ y que se extienden como usted desea.

También vale la pena señalar que esta construcción se da una división de anillo cada vez que nos tomamos nuestro coeficientes de un anillo de división, de manera que si queremos que algo no conmutativa, podríamos aplicar esta construcción de cuaterniones de los coeficientes.