Relación interesante derivada de la identidad$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

Question

Cada uno sabe que

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1.$$

También es bien conocido que

$$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n + 1}}{(2n+1)!},\quad\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}.$$

Uno puede volver a escribir el mencionado identidad como

$$\sum_{n, k = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+k} x^{2(n+k+1)}}{(2n+1)! (2k+1)!} + \sum_{m, l = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{m+l} x^{2(m+l)}}{(2m)! (2l)!} = 1.$$

Términos de la $\sin^2 x$ serie cancelar todos, excepto uno (que es igual a 1) en términos de la $\cos^2 x$ de la serie. Este hecho puede ser expresado como

$$(-1)^{c-1} x^{2c} \sigma(c) + (-1)^c x^{2c} \gamma(c) = 0,$$

donde $n+k+1 = m+l= c \geq 1$ y

$$\sigma(c) = \sum_{n=0}^{c-1} \frac{1}{(2n+1)! (2(c-n)-1)!},\quad\gamma(c) = \sum_{m=0}^{c} \frac{1}{(2m)! (2(c-m))!}.$$

En el momento en que no es obvio para mí que $$\sigma(c) \equiv \gamma(c).$$

¿Alguno tiene una idea de cómo el pasado de identidad puede ser demostrado?

Answer 1

Tenga en cuenta que $(2c)!\sigma(c)=\sum_{n=0}^{c-1}\binom{2c}{2n+1}$ mientras $(2c)!\gamma(c)=\sum_{m=0}^c\binom{2c}{2m}$ , por lo que se reduce al famoso resultado de que los subconjuntos de tamaño par de un conjunto no vacío de tamaño finito son exactamente tan numerosos como los subconjuntos de tamaño impar.

Answer 2

Aquí me proporcionan explícito el razonamiento para la identidad en cuestión obvia (tenga en cuenta que yo uso la notación ${N \choose k} \equiv C(N,k)$).

Uno puede fácilmente notar que
$$(2c)! \sigma(c) = \sum_{n = 0}^{c-1} \frac{(2c)!}{(2n+1)! (2c-(2n+1))!} = \sum_{n = 0}^{c-1} \frac{r!} {b_{impar}! (r -b_{impar})!} = \sum_{n = 0}^{c-1} C(r,b_{impar}), $$ donde $r= 2c,$ $b_{odd} = 2n+1.$

$$(2c)! \gamma(c) = \sum_{m = 0}^{c} \frac{(2c)!}{(2m)! (2c-2m)!} = \sum_{m = 0}^{c} \frac{r!} {b_{par}! (r - b_{par})!} = \sum_{m = 0}^{c} C(r,b_{par}),$$ donde $r = 2c,$ $b_{even} = 2m.$

Desde el trivial de identidad $0 \equiv (1 - 1)^{2c}$ se puede derivar de la relación $$0 \equiv (1 - 1)^{2c} = \sum_{d = 0}^{2c} C(2c, d) 1^{2c - d} (-1)^{d} = \sum_{o = 0}^{c-1} C(2c,2o+1) 1^{2c-(2o+1)} (-1)^{2o+1} + \sum_{e = 0}^{c} C(2c,2e) 1^{2c-2e} (-1)^{2} = -\sum_{o = 0}^{c-1} C(2c,2o+1) + \sum_{e = 0}^{c} C(2c,2e).$$

Por lo $$\sum_{o = 0}^{c-1} C(2c,2o+1) \equiv \sum_{e = 0}^{c} C(2c,2e),$$

y por lo tanto

$$\sigma(c) \equiv \gamma(c).$$