Productos de ideales determinantes

Question

Deje $X=(x_{ij})_{1\leq i\leq m, 1\leq j\leq n}$ donde la $x_{ij}$ son variables. Ahora, para todos los $d$, consideramos que el ideal de la $I_d$ del polinomio anillo de $S=\mathbb{C}[x_{ij}:\, 1\leq i\leq m, 1\leq j\leq n]$ que es generada por todas las $d\times d$ menores de $X$. Después de hacer algunos experimentos, suponemos que tenemos $$I_{d-1}\cdot I_{d+1}\subset I_d^2$$ for all $d$. Sospecho que esto podría simplemente seguir a partir de algunos conocidos determinantal identidades, pero no hice encontrar. ¿Alguien tiene una inteligente prueba o referencia?

Editar: Con el fin de resolver Darij la preocupación, permítanme darles un ejemplo aquí. Deje $m=n=4$, por lo que consideramos la matriz $$X=\begin{pmatrix} x_0& x_4& x_8& x_{12}\\x_1& x_5& x_9& x_{13}\\x_2& x_6& x_{10}& x_{14}\\x_3& x_7& x_{11}& x_{15} \end{pmatrix}.$$ The top left $3\times 3$ minor is $$h=-x_2 x_5 x_8+x_1 x_6 x_8+x_2 x_4 x_9-x_0 x_6 x_9-x_1 x_4 x_{10}+x_0 x_5 x_{10}.$$ Darij had some doubts that $x_{15}\cdot h$ is in the ideal $I_2^2$. Aquí está una representación: $$x_{15}\cdot h=\frac{1}{2}((x _{11} x _{14}-x _{10} x _{15}) (x_1 x_4-x_0 x_5)-(x _{11} x _{13}-x_9 x _{15}) (x_2 x_4-x_0 x_6)-(x _{10} x _{13}-x_9 x _{14}) (x_3 x_4-x_0 x_7)-(x_7 x _{14}-x_6 x _{15}) (x_1 x_8-x_0 x_9)+(x_7 x _{13}-x_5 x _{15}) (x_2 x_8-x_0 x _{10})+(x_6 x _{13}-x_5 x _{14}) (x_3 x_8-x_0 x _{11})+(x_3 x _{14}-x_2 x _{15}) (x_5 x_8-x_4 x_9)-(x_3 x _{13}-x_1 x _{15}) (x_6 x_8-x_4 x _{10})-(x_2 x _{13}-x_1 x _{14}) (x_7 x_8-x_4 x _{11})).$$ Espero que no typo que pasó.

Answer 1

Creo que así se desprende del Lema (10.10) de Bruns, Vetter, "Determinantal Anillos", que reproduzco aquí, editado ligeramente.

(Notación: Aquí $m,n$ son fijos enteros positivos y $X = \{x_{i,j}\}$ es $m \times n$ matriz de indeterminates. Dado $k$-tuplas $(a_{1},\dotsc,a_{k}) \in \{1,\dotsc,m\}^{k}$ e $(b_{1},\dotsc,b_{k}) \in \{1,\dotsc,n\}^{k}$, que denotan "$[a_{1},\dotsc,a_{k}|b_{1},\dotsc,b_{k}]$" el determinante de la $k \times k$ matriz cuyas $(i,j)$th entrada es $x_{a_{i},b_{j}}$.)

(10.10) Lema. Deje $\mathrm{F}(i,j)$ ser $\mathbb{Z}$-submódulo de $\mathbb{Z}[\{x_{i,j}\}]$ generado por los productos de $\delta_{1}\delta_{2}$ de la $i$-menores de edad $\delta_{1}$ e las $j$-menores de edad $\delta_{2}$. A continuación, para $u \le v-2$ e $\pi = [a_{1},\dotsc,a_{u}|b_{1},\dotsc,b_{u}]$ e $\rho = [c_{1},\dotsc,c_{v}|d_{1},\dotsc,d_{v}]$, y $$ \tilde{u} = \max(|\{a_{1},\dotsc,a_{u}\} \cap \{c_{1},\dotsc,c_{v}\}|,|\{b_{1},\dotsc,b_{u}\} \cap \{d_{1},\dotsc,d_{v}\}|) $$ one has $$ (u+1-\tilde{u})!\pi\rho \in \mathrm{F}(u+1,v-1) \;. $$ (We include the case $u=0$, in which $\pi=1$ por convención).