Desmitificando lo determinante

Question

Prefacio: he leído un par de posts por aquí sobre el factor determinante, pero ninguno de ellos parece a poner a descansar las preguntas que tengo, así que me he decidido a preguntar directamente.

Pregunta: En general, me gustaría tener una comprensión más profunda de donde el determinante viene. Parece tan fundamental para casi cualquier campo de las matemáticas. Así que aquí están mis preguntas al respecto:

1. Quien descubrió la fórmula para el factor determinante? Fue notado, o fue construido para un propósito específico? Si es así ¿cuál fue la motivación?

2. ¿Por qué/cómo es que se relacionan coherente/incoherente sistemas?

3. ¿Cómo se relaciona a la cruz del producto? ¿Por qué es que dos vectores alineados en cierto modo produce un tercer vector ortogonal y ¿cómo funciona el factor determinante de hacer que esto suceda?

4. ¿Por qué es el factor determinante para encontrar los autovalores y autovectores?

Cualquier detalle sería muy apreciada!

Answer 1

Uno de mis favoritos de explicaciones es este uno de Pedirle a Un Matemático. Básicamente, partiendo de la idea de encontrar el volumen del paralelogramo que cualquier transformación lleva a la unidad de cubo, se crea desde cero en la definición de determinante. Me pareció muy sorprendente, porque generalmente son los factores determinantes que se introdujo en el "aquí es cómo calcularlo" forma y, a continuación, muestra más adelante para ser el volumen de la transformación de la unidad de cubo, pero este recurso se inicia desde la idea intuitiva de "volumen de la transformación de la unidad de cubo" y construye la fórmula a partir de allí, se basa en algunos muy importantes, pero todavía intuitiva de las propiedades. Genial!

Este "volumen de transformadas de la unidad de cubo" idea y por eso es importante la inconsistencia en los sistemas y invertible transformaciones/matrices; si el determinante es $0$ (i.e toma la unidad de cubo y aplasta en una dimensión inferior), entonces eso significa que la transformación no es invertible (no inyectiva) y por lo tanto, no tienen solución o tiene un número infinito de soluciones.

Para el producto cruzado, este recurso puede ser esclarecedor: la Motivación para la construcción de la cruz-producto (Cuaterniones?). Los enlaces en el mismo supuesto, también dar más información, pero a mi personalmente me gusta el que me vincula explícitamente. No estoy del todo seguro de por qué son los factores determinantes de los involucrados, pero la comprensión de la fórmula para el producto cruzado puede ayudar en esa búsqueda de la comprensión. Si alguien tiene ideas, por favor, comentario o respuesta! Me encantaría saber demasiado.

Y finalmente para los autovalores, queremos encontrar los vectores y valores propios, tal que $A\vec v = \lambda \vec v$, que es equivalente a encontrar los vectores en el espacio nulo de $(A-\lambda I)$. Como he dicho, en parte, a $(b)$, los factores determinantes son muy buenos nos dice si la unidad de cubo ha sido aplastado a una dimensión inferior (es decir, un no-vector cero ha sido enviada por la transformación a $0$), por lo que es bueno en el que nos dice lo que los valores de $\lambda$ nos de matrices que tienen un valor distinto de cero en el espacio nulo, y por lo tanto nos dice que los vectores propios/subespacios propios correspondientes a un determinado $\lambda$.

Yo podría ser la adición de más detalles más adelante, pero si usted tiene preguntas sobre lo que he escrito hasta ahora, siéntase libre de preguntar.

P. S. si quieres una presentación formal de los determinantes y los valores propios, uno de mis favoritos de álgebra lineal de los libros ha sido de Álgebra Lineal se Hace bien, por Sheldon Axler. Consulte el capítulo 10 para los determinantes y el capítulo 5 para los autovalores. Realmente arroja luz sobre formas alternativas de pensar acerca de estas cosas (fuera de la común enfoque de "esto es una mierda tonelada de matrices, hacer algunos cálculos con ellos")

P. P. S también me pregunto mucho sobre estos "origen" de las preguntas de matemáticas, y si estás interesado en más, voy a compartir algunas cosas increíbles que he encontrado durante eones de merodear MSE:

• Interpretación física de transformadas de Laplace
• Puede *I* han llegado con la definición de Compacidad (y sus conexiones)?

Las respuestas en todas las cosas que he enlazado más arriba son tan útil para cualquier estudiante de matemáticas simplemente no me podía resistir a compartir!

Answer 2

La hermosa interpretación de el determinante como una firma de volumen se pone tanta atención que a veces me preocupo nuevo, los estudiantes no se dan cuenta de que el determinante puede ser fácilmente descubierto por la resolución de $Ax = b$ a mano, utilizando el álgebra de preparatoria, en el caso de que $A$ es $2 \times 2$ o $3 \times 3$ matrix. For example, if $A$ is $2 \times 2$, queremos resolver \begin{align} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 &= b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 &= b_2. \end{align} Multiplicando ambos lados de la primera ecuación por $a_{21}$, y luego multiplicando ambos lados de la segunda ecuación por $a_{11}$ y restando, nos encontramos con que $$ (a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12}) x_2 = a_{11} b_2 - a_{21} b_1. $$ Si el número de $a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12}$ no es cero, entonces podemos resolver para $x_2$. (Y nos encontramos con una fórmula similar para $x_1$.)

Por lo que de inmediato, hemos descubierto el determinante de una $2 \times 2$ matriz, y podemos ver que si este número especial no es cero, a continuación, $Ax = b$ tiene una solución única para la elección de la $b$. En el caso de que $A$ es $3 \times 3$ no es mucho más difícil. Alguien que es lo suficientemente obsesionado, como muchos matemáticos son, no dudaría en trabajar de la $4 \times 4$ caso con la mano si el patrón no está claro. Así, no hay nada difícil descubrir el factor determinante. (Por cierto, hemos descubierto también la regla de Cramer en el proceso).

---

Si $\lambda$ es un autovalor de $A$, esto significa que existe algún vector distinto de cero $x$ tal que $Ax = \lambda x$. Equivalentemente, $$ \etiqueta{1} (A - \lambda I) x = 0, $$ donde $I$ es la matriz identidad.

Pero, como hemos descubierto anteriormente, si $\det (A - \lambda I) \neq 0$, entonces (1) tiene una solución única, que es $x = 0$. Así que el hecho de que hay una conexión entre los valores propios y el determinante es inmediata. Se podría conjeturar que si $\det (A - \lambda I) = 0$ , a continuación, (1) tiene una solución distinto de cero, y resulta que a ser posible demostrar que esto es correcto. Así, $\lambda$ es un autovalor de $A$ si y sólo si $\det (A - \lambda I) = 0$.

Answer 3

Si se define el determinante de una matriz cuadrada $M$ a la firma del volumen del resultado de la aplicación de $M$ a la unidad de cubo (es decir, la región generado por los vectores unitarios), a continuación, se puede observar:

1. $\det(MN) = \det(M)·\det(N)$ para cualquiera de las matrices cuadradas $M,N$ del mismo tamaño.
2. $\det(D)$ es el producto de la diagonal entradas de $D$ para cualquier matriz diagonal $D$, debido a $D$ es la matriz de transformación de una escala.
3. $\det(P) = 0$ para cualquier matriz $P$ que sólo ha $0$ en algunas fila, porque la $P$ es la matriz de transformación de una proyección que se derrumba todo en algunos hyperplane con algunos coordinar cero.
4. $\det(R) = -1$ para cualquier matriz $R$ que se obtiene a partir de $I_k$ por el intercambio de dos filas, debido a que $R$ es la matriz de transformación de una reflexión que intercambia dos ejes de coordenadas.
5. $\det(E) = 1$ para cualquier matriz $E$ que sólo ha $1$ en su diagonal y sólo uno no diagonal de la entrada, debido a que $D$ es la matriz de transformación de un eje paralelo a cortante.

Ahora no es difícil demostrar que toda matriz $M$ puede ser expresado (a través de la eliminación Gaussiana) como un producto de $A_1 A_2 \cdots A_k B$ donde cada una de las $A_i$ es de la forma (4) o (5) anterior, y $B$ es de la forma (2) o (3) anterior. Por lo tanto $\det(M)$ puede ser calculado en el proceso de eliminación Gaussiana, y de hecho se hace de manera más eficiente de esa manera.

Por otra parte, si $B$ es de la forma (2), $M$ es invertible, ya que todas las matrices de la forma (2) o (4) o (5) se invertible. Pero si $B$ es de la forma (3), a continuación, $M$ no es invertible desde $B$ le mapa de algunos vectores de entrada para la misma salida de vectores (esto puede ser fácilmente observado a partir de la fila-forma escalonada de $B$). Por lo tanto $M$ es invertible iff $\det(M) ≠ 0$. Que en realidad debería de esperar, ya que intuitivamente $M$ es invertible iff no acoplar la unidad de cubo, y una vez aplanada ninguna transformación lineal puede unflatten ella. Si $M$ no es invertible, entonces la ecuación de $Mx = y$ puede haber ninguna solución o un número infinito de soluciones, dependiendo de si el rango de $M$ contiene $y$ o no, respectivamente.

Además, es fácil comprobar que la de Leibniz definición de determinante satisface todas las propiedades anteriormente mencionadas, y por lo tanto debe ser el mismo. La definición de Leibniz por lo tanto, puede estar motivado por el deseo de tener una definición rigurosa que coincide con el "intuitivo definición geométrica'. Esta es capturado por el algebraicas de la propiedad de la determinante de su condición de "multilineal alternada mapa con respecto a las columnas", como la describe el artículo de la wikipedia. Aquí "multilineal" corresponde a (2)+(3)+(5), y la "alternancia" calificador corresponde vagamente a (4).

El producto cruzado es peculiar a $3$ dimensiones, y celtschk ya ha explicado cómo puede uno llegar a su relación con el determinante de $3×3$ matrices.

Como para los vectores propios de una $k×k$ matriz $M$, queremos encontrar algunos vector distinto de cero $v$ y escalares $λ$ tal que $Mv = λv$, equivalente a $(M-λI_k)v = 0$, lo que requiere de $(M-λI_k)$ a no es invertible, que como se explicó anteriormente es equivalente a $\det(M-λI_k) = 0$.

Answer 4

1. Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Determinant#History.

2. Se puede entender un determinante como la medida del volumen definido por su columna (o fila) de los vectores. En 2D, dos vectores que definen un paralelogramo; en 3D, tres vectores que definen un paralelepípedo; en N dimensiones, se puede decir parallelotope. El determinante es cero si los vectores son linealmente dependientes (por lo tanto el volumen es plana). Dependencia lineal es la propiedad que permite discutir la consistencia del sistema. En particular, $M\textbf x=0$ sólo tiene soluciones no triviales ($\mathbf x\ne0$) cuando los vectores son linealmente dependientes, es decir, si el sistema determinante es cero, y a la inversa.

3. El producto es en realidad un pseudo-determinante como tres de sus elementos son vectores de la base en lugar de números. Entender la ortogonalidad de la propiedad tomando el producto escalar con original vectores, dándose cuenta de que en general* $$\textbf a\cdot(\textbf b\times\textbf c)=(a_x\textbf i+a_y\textbf j+a_z\textbf k)\cdot\begin{vmatrix}\textbf i&\textbf j&\textbf k\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{vmatrix}.$$ Cuando dos vectores son idénticos, el determinante es cero y por lo que es el producto escalar, por lo tanto el producto cruzado es ortogonal a ambos original de vectores. $\textbf b\cdot(\textbf b\times\textbf c)=\textbf c\cdot(\textbf b\times\textbf c)=0$.

4. Un Autovector es tal que es linealmente dependiente con su imagen de la transformación lineal definida por la matriz ($M\textbf v=\lambda\textbf v$ o $(M-\lambda I)\textbf v=0$). Por tanto, consulte a 2.

   ---

*Obtener este resultado mediante el desarrollo de la determinante en su primera fila y calcular el producto escalar. Este es el mismo como la copia de las $\textbf a$ a la primera fila.

Answer 5

Sobre la relación entre el determinante y el producto cruzado:

Comience con el hecho de que el volumen de las tres dimensiones de parallelepided generado por los vectores $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$ está dado por el determinante $$V = \det\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix}$$ Ahora haga una menor expansión en la primera columna: $$V = a_1 \det\pmatrix{b_2 & c_2\\b_3 & c_3} - a_2 \det\pmatrix{b_1 & c_1\\b_3 & c_3} + a_3 \det\pmatrix{b_2 & c_2\\b_3 & c_3}$$ Si se mira de cerca a esta fórmula, se ve como el escalar procuct de los vectores $\vec a$ con el vector $$\begin{pmatrix} \det\pmatrix{b_2 & c_2\\b_3 & c_3}\\ -\det\pmatrix{b_1 & c_1\\b_3 & c_3}\\ \det\pmatrix{b_2 & c_2\\b_3 & c_3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_2 c_3-b_3 c_2\\ b_3 c_1-b_1 c_3\\ b_1 c_2-c_2 b_1 \end{pmatrix}$$ Ahora bien, si nos fijamos en este término, nos damos cuenta de que es lineal en ambos $\vec b$ e $\vec c$, es decir, tiene las propiedades de un producto. Por lo tanto, podemos introducir esta como un nuevo producto, $\vec b\times\vec c$. Las propiedades de este producto son fácilmente deriva de las propiedades de los determinantes:

Si $\vec a$ es en el plano generado por $\vec b$ e $\vec c$, el determinante es cero. Eso significa, $\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)$ es cero. Y eso a su vez significa que $\vec a$ es ortogonal a $\vec b\times\vec c$. O en otras palabras, $\vec b\times\vec c$ es ortogonal al plano generado por $\vec b$ e $\vec c$.

Si $b$ e $c$ son linealmente dependientes (es decir, los múltiplos de cada uno de los otros), entonces el determinante es $0$, no importa lo $\vec a$ es. Pero el único vector donde el producto escalar con todos los vectores da cero es el vector cero. Por lo tanto $\vec b\times\vec c=\vec 0$ siempre $b$ e $c$ son linealmente dependientes.

Por otra parte, el intercambio de los dos factores significa que el intercambio de las dos columnas en la matriz, lo que significa cambiar el signo del determinante. Por lo tanto, $\vec c\times\vec b=-\vec b\times\vec c$.

También el hecho de que $\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)=\vec b\cdot(\vec c\times\vec a)=\vec c\cdot(\vec a\times\vec b)$ sigue directamente de la invariancia de la determinante, incluso bajo paridad permutaciones de las columnas.