Generalizando "La cuadratura de la parábola" de Arquímedes

Question

En el siglo III a.C., Arquímedes descubrió que

El área encerrada por una parábola y una línea (figura izquierda) es 4/3 del área de un triángulo inscrito relacionado (figura derecha).

En consecuencia, el área encerrada por una parábola y una línea es 2/3 del área de un paralelogramo que tiene la cuerda y su copia tangencial a la parábola como dos de sus lados. He intentado derivar este resultado yo mismo utilizando cálculo.

Supongamos que $f:I \subseteq \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ es una función suave y convexa (para que la cuerda esté en un lado fijo del gráfico), definida en algún intervalo $I$. Para $a < b$, sea $[a,b] \subseteq I$ un subintervalo cerrado. El área del segmento delimitado por el gráfico de $f$ y la cuerda $\overline{(a,f(a)) (b,f(b))}$ está dada por $$\int_a^b \left( f(a)+(t-a) \frac{f(b)-f(a)}{b-a} - f(t) \right) \mathrm{d}t. \tag{1}$$ Para las áreas del triángulo inscrito y del paralelogramo relacionado, usaremos el punto $c \in (a,b)$, que tiene la pendiente $$f'(c) =\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$ Tal punto existe según el TVM, y es único debido a la convexidad de $f$. Por lo tanto, $$c = c(a,b)= f'^{-1} \left( \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \right).$$ El área del mencionado paralelogramo es entonces el área entre dos segmentos paralelos $$\int_a^b \left[ f(a)+(t-a) \frac{f(b)-f(a)}{b-a} - \left( f(c)+(t-c) \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \right) \right] \mathrm{d}t.$$

El resultado de Arquímedes implica que

$$\begin{align}&\int_a^b \left( f(a)+(t-a) \frac{f(b)-f(a)}{b-a} - f(t) \right) \mathrm{d}t \\ &= k \int_a^b \left[ f(a)+(t-a) \frac{f(b)-f(a)}{b-a} - \left( f(c)+(t-c) \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \right) \right] \mathrm{d}t \end{align} \tag{3}$$

para $f(x)=x^2$, $a,$c(a,b)=\frac{a+b}{2}$y$k=\frac{2}{3}$.

Mis preguntas son acerca de retroceder:

1. ¿Es posible llegar sistemáticamente a $f(x)=x^2$ (o una parábola similar), partiendo del conocimiento de que $f$ es convexa sobre algún intervalo, $f$ satisface la Ecuación $(3)$ para todos los subintervalos $[a,b]$ de su dominio y $k=\frac{2}{3}$?
2. ¿Es posible generalizar este resultado resolviendo la Ecuación $(3)$ para $k \neq \frac{2}{3}$ (claramente, $k \leq 1$)? Agradecería orientación sobre cómo hacer esto si es posible.

¡Gracias!

Answer 1

Vamos a reescribir $(3)$ con $a=x$, $b=x+h$ y considerar $c$ como una función de $h$ (para un $x$ fijo): $$\tag{*} {h\over2}(f(x+h)+f(x))-\int_x^{x+h}f(t)\,dt= k\big[-h[f(c)-f(x)]+(c-x)[f(x+h)-f(x)]\big].$$ Podemos diferenciar ambos lados de $(*)$ con respecto a $h$ cierto número de veces (estoy suponiendo que las funciones $f$ y $c$ son suficientemente regulares), sustituyendo entonces cada vez: $$f'(c)= {f(x + h) - f(x)\over h},\quad c'(h)={h f'(x + h) - f(x + h) + f(x)\over h^2 f''(c)}$$ (la segunda ecuación se puede obtener diferenciando la primera), y al final tomar el límite de ambos lados para $h\to0$ (recordando que $c(0)=x$).

Obtenemos la primera ecuación no trivial después de diferenciar tres veces: No escribiré el resultado intermedio, que es bastante largo y complicado, pero al tomar el límite $h\to0$ se obtiene un resultado simple: $${1\over2}f''(x)=k{3\over4}f''(x),$$ que se satisface ya sea por $f''(x)=0$ (solución trivial: una línea recta) o por $k=2/3$.

Por lo tanto, no es posible resolver la ecuación (*) con $k\ne2/3$.

Sustituyendo ahora $k=2/3$ en $(*)$ y diferenciando cinco veces con respecto a $h$, como antes, el límite para $h\to0$ da esta ecuación diferencial: $$\tag{**} f^{(4)}(x)={5\over3}{\big(f^{(3)}(x)\big)^2\over f''(x)}.$$ Esto tiene la solución particular $f^{(3)}(x)=0$, que da una parábola:

$$\tag{#} f(x)=\alpha x^2+\beta x+\gamma,$$

mientras que la solución general es:

$$\tag{§} f(x) = \alpha \sqrt{x + \beta} + \gamma x + \delta,$$ donde $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ son constantes arbitrarias. Pero es fácil ver que el gráfico de $(§)$ es nuevamente un arco de una parábola, con la ecuación: $(y-\gamma x-\delta)^2=\alpha^2(x + \beta)$.

Por lo tanto, la parábola es la única curva no recta que cumple con la relación de Arquímedes en la forma dada en la pregunta como la ecuación $(3)$. Sin embargo, como función, puede ser escrita ya sea en la forma $(\text{#})$ o en la forma $(§)$ dada anteriormente.