¿Cuando es una familia uniformemente densa de funciones denso en L ^ p?

Question

Supongamos $\mathcal{A}\subset L^p(\mathbb{R})$ es un álgebra de funciones con la propiedad siguiente:

Para cada compacto $K\subset\mathbb{R}$, $\mathcal{A}$ es denso en $\mathcal{C}(K)$ con respecto al uniforme de la norma $\|\cdot\|_{\infty}$ donde $\mathcal{C}(K)$ es la colección de las reales funciones continuas en $K$. El uniforme de la norma que me estoy refiriendo es $$\|f\|_{\infty}=\sup_{t\in K}|f(t)|.$$ (Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_norm.)

Podemos concluir que el $\mathcal{A}$ es denso en $L^p(\mathbb{R})$ (con respecto a la $L^p$ norma)?

Me interesé en esta pregunta, mientras que la investigación de un caso especial, el $L^2$-densidad de combinaciones lineales finitas de Gaussianas:

$$\sum_{i=1}^n\alpha_ie^{-k_i(x-x_i)^2},\qquad\alpha_i,k_i,x_i\in\mathbb{R},k_i>0.$$

La pregunta anterior se me ocurrió porque me puedo imaginar siendo útil en casos como este, digamos, a verificar la hipótesis de la Piedra-teorema de Weierstrass para una determinada familia de funciones en lugar de explícitamente aproximado funciones en $L^p$.

Answer 1

Creo que se puede tirar de un argumento como este : definir la secuencia de pactos $[-n, n]$ ; desde $\mathcal A$ es denso en cada uno de ellos, para cada función de $f \in L^p(\mathbb R)$, y para todos los $n$, existe una secuencia $f_{n,m}(x)$ tal que $f_{n,m} \to f$ $[-n,n]$ con respecto a la norma que ha elegido como $m \to \infty$.

Se podrían extraer una larga fuera de las secuencias de $f_{n,m}$ por el siguiente argumento. Elija una secuencia $\varepsilon_k \to 0$. Encontraremos $g_k$ tal que $$ \|g_k - f\|_{\infty} \desbordado{def}{=} \inf \{ K > 0 \, | \, \mu(\{x \in \mathbb R \, | \, |g_k(x) - f(x)| > K\} ) = 0 \} < \varepsilon_k. $$ (Creo que esta es la definición detallada de la norma? Me corrija si estoy equivocado.)

con $\mu$ la medida de Lebesgue.

Ahora $f \in L^p$, por lo que para $n$ lo suficientemente grande, $|f(x)| < \varepsilon_k/2$ casi en todas partes fuera de $[-n,n]$. Arreglar esto $n$.

Este es el punto donde estoy atrapado en el. Desde $f_{n,m} \to f$ $[-n,n]$ existe $m$ tal que $\|f_{n,m}-f \|_{\infty} < \varepsilon_k$ dentro $[-n,n]$ $|f_{n,m}(x)| < \varepsilon_k/2$ fuera$^{*}$ $[-n,n]$ ($f_{n,m} \in L^p$ también, por lo tanto va a $0$ en el infinito.)

Este chico ($^{*}$) es el problema ; yo no tengo ningún control sobre lo que sucede a $f_{n,m}$ fuera de $[-n,n]$ y que es lo que me da la intuición de que podría ser falso, en el caso general. Aunque su elección de las funciones de exhibición más propiedades que el resumen de uno... pero es que ahora en un estado de intuición sólo. Permítanme terminar justo para ver a dónde me congeló en mi argumento.

Con esas propiedades, resumió, fuera de $[-n,n]$, $|f_{n,m}(x) - f(x)| \le |f_{n,m}(x)| + |f(x)| < \varepsilon_k$ casi en todas partes fuera de $[-n,n]$ $|f_{n,m}(x) - f(x)| < \varepsilon_k$ dentro $[-n,n]$, por lo que el $|f_{n,m}(x)-f| < \varepsilon_k$ en casi todas partes sobre $\mathbb R$, es decir, hemos encontrado $f_{n,m}$ tal que $\|f_{n,m} - f\|_{\infty} < \varepsilon_k$. Simplemente deje $g_k = f_{n,m}$.

Espero que ayude en algo para al menos dar algunas ideas.

EDIT : se me olvidó el "$ = 0$" en mi definición de la norma. Error de tecleo.