¿Existe una geometría no euclidiana conocida en la que dos círculos concéntricos de diferentes radios puedan cruzarse? (como en la novela "El universo entre")

Question

A partir de 1951, la novela de El Universo, Entre por Alan E. Nourse.

Bob Benito es uno de los pocos científicos capaz de hacer contacto con lo invisible, el peligroso mundo de La Thresholders y de regreso sano! Durante años se ha tratado de transporte y recepción de la materia por la que se transmitía a través de la misteriosa, paralelo Umbral.

[...]

Increíblemente, algo cambió. Una pausa, un sag, como si una terrible presión de repente se ha liberado. Su miedo estaba todavía allí, mordiendo él, pero había algo más. Era consciente de su cuerpo en torno a él en su curiosa configuración de ordenado desorden, sus fragmentos girando alrededor de él como secciones de una colcha de retazos. Dos círculos concéntricos de diferentes radios que se cruzan en tres puntos diferentes. Torsión cúbicos masas entrelazado a sí mismos en el revuelto de la inverosimilitud de un geométricas pesadilla.

El autor podría ser simplemente tirar algunos términos juntos para dar al lector una sensación de asombro, pero tal vez hay algo de geometría no-euclidiana, donde esto es posible.

Answer 1

Sí, la definición adecuada de "círculo". Es decir, definir un círculo de radio $R$ centrado en $x$ sobre el colector $M$ a ser el conjunto de puntos que puede ser alcanzado por una geodésica de longitud $R$ partir de $x$. Esto parece bastante razonable, y reproduce la definición habitual en el espacio Euclidiano.

No es difícil ver que los círculos concéntricos en un toro o un cilindro puede tener cuatro puntos de intersección.

(Aquí se explica cómo interpretar esta imagen: El círculo más grande ha sido envuelto en la dirección del eje y, lo que refleja un toro o un cilindro de topología. Próximamente: Una foto de esta incrustado en 3D.)

Por el acoplamiento de un lado de el toro un poco, puedes hacer que uno de los lados del círculo más grande cruzan el círculo más pequeño en dos puntos, mientras que el otro lado solo roce en un solo punto*. Así que usted consigue tres intersecciones.

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*Como un punto de vista técnico, esto sin duda puede ser logrado en Finsler geometría, aunque no estoy seguro de si se puede hacer en la geometría de Riemann.

Answer 2

La situación es imposible si hacemos los siguientes supuestos:

1. Cada círculo tiene exactamente un centro, que es un punto.
2. Círculos concéntricos tienen el mismo centro.
3. Cada círculo tiene exactamente una radio, que es un número. (No hacemos suposiciones, además de los mencionados, sobre el significado de la palabra "número".)
4. Si dos círculos que se intersecan en un punto, luego de que el punto se encuentra en ambos círculos.
5. Dado cualquier desordenada par de puntos, no es exactamente una distancia entre esos puntos, que es un número.
6. Si un punto de $p$ se encuentra en un círculo, entonces la distancia entre $p$ y el centro del círculo es el radio del círculo.

A partir de lo anterior, supongamos que $C$ e $D$ son dos círculos concéntricos que se cortan en un punto. Los dos círculos tienen el mismo centro, $e$, y llame el punto de intersección $p$. La distancia entre la $e$ e $p$ es el radio de la $C$, pero también es el radio de $D$, por lo que los dos círculos no pueden tener distintas radios.

Podemos hacer que la situación sea posible descartando algunos de los axiomas, pero para la mayor parte, estos axiomas son tan fundamental para la noción de geometría que si descarta uno, el resultado no se considera la geometría más (ni siquiera la geometría no Euclidiana). En particular, los axiomas 2 y 4 anteriores son, básicamente, las definiciones de las palabras "concéntricos" y "se cruzan", y los axiomas 1, 3 y 6 constituyen esencialmente la definición de un círculo con un centro y un radio.

Si tuviera que elegir un axioma para descartar, yo sería descartar axioma número 5: la afirmación de que dados dos puntos, no es sólo una distancia entre esos puntos. Este es el enfoque adoptado en Luca Bressan la respuesta (un plano basado en aritmética modular, donde los pares de puntos con una distancia de $0$ también tiene una distancia de $2$ y viceversa) y en Yly la respuesta (un cilindro, donde un par de puntos que tiene un número infinito de distancias, dependiendo de la dirección y de cómo muchas veces se envuelven alrededor del cilindro, cuando la medida de la distancia).

Answer 3

Considere la posibilidad de la geometría en la que el avión se identifica con $(\mathbb Z / 4 \mathbb Z)^2$. Definir el círculo con el centro $C(a, b)$ y radio de $r$ como el lugar geométrico de todos los puntos de $P(x, y)$ tal que $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$.

Deje $C = (0, 0)$ y considerar los dos círculos con centro en el $C$ con radios $0$ e $2$. Desde $2^2 = 0$ en $\mathbb Z / 4 \mathbb Z$, las dos ecuaciones son claramente equivalente, y ambos definen el conjunto $\{ (0, 0), (2, 0), (0, 2), (2, 2) \}$. Por lo tanto, podemos decir que hay dos círculos concéntricos con diferentes radios que se cortan en tres puntos diferentes (distinto de su centro).

Answer 4

No con la definición habitual de un círculo como el conjunto de puntos a una distancia fija $r$ de centro $C$. Si los círculos son concéntricos que significa que tienen el mismo centro. Si se intersecan en un punto, entonces tienen el mismo radio. Eso significa que ellos están en el mismo círculo.

Que argumento funciona en cualquier geometría, donde la distancia se define.

Si los círculos no necesita ser concéntricos se puede imaginar una solución. Creo que de los dos pueblos. Considere la posibilidad de "tiempo de viaje" como una medida de la distancia. Supongamos que los pueblos están separados por una serie de colinas con varios pasos bajos. No puede ser exactamente tres puntos aislados cada accesible en $10$ minutos de cada ciudad.

Answer 5

Voy a hacer una conjetura: Piensa en las calles, un "círculo" es un camino en el que puede ir de un punto a a $A$ y el retorno a sí mismo, y se puede definir un "centro" en forma razonable. Como la estructura de las calles puede ser muy complicado (en algunas calles, se puede ir en una sola dirección, en otros, puede ir en ambos sentidos, etc), supongo que se puede construir diferentes "círculos" con el mismo centro que se cruzan en cualquiera de los "puntos" que usted desea.

He construido este, por ejemplo:

$\quad\quad\quad\quad$

Las instrucciones de flecha son una manera de rutas, los sin flechas son dos rutas. Se puede definir "distancia" como este: El número de diferentes calles (bordes) que se necesita para pasar de $A$ a $B$. Trate de pensar en lo que son los "círculos" con "radio" $2$ e $3$ aquí. Aviso que esta es probablemente una muy extraño "distancia" que no pueden disfrutar de todas las propiedades de la habitual espacio euclidiano.