¿Alguien puede ayudarme con lo que está mal aquí, ya que puedo probar$0 = 1$?

Question

Supongamos que $S = 1 + 1 + 1 + 1 ....$

y por lo tanto podemos escribir $S = 1 + S$

por lo tanto, $ 1 = 0$ Esto me parece absurdo, pero ¿dónde me estoy equivocando aquí? o es alguna paradoja

Answer 1

Su argumento depende de la suposición de que $S$ es un número con el que puede hacer operaciones aritméticas. No es un número, no puedes hacer aritmética con él, y esto es lo que has mostrado (por contradicción).

Answer 2

Para entender este tipo de cosas, usted tiene que prestar atención a las definiciones subyacentes. La definición de una infinita suma, como

$$1 + 1 + 1 + 1 + \cdots$$

es el límite

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{n}$$

es decir, la suma de $n$ , como $n$ es permitido acercarse a infinito. Sin embargo, este límite no existe en el sistema numérico real, porque la derecha plazo crece indefinidamente grande.

Sin embargo, por sustitución, este límite es el valor que ha decidido representan por el símbolo $S$. El problema, entonces, es que ese valor no existe. La suma de la serie infinita no existe. Por lo tanto $S$ no tiene ningún referente, y los correspondientes cálculos no tienen sentido.

Dicho esto, una alternativa, y tal vez más fuerte, la perspectiva sería decir que si un objeto como $S$ existía, y permite a las manipulaciones que hiciste, no iba a romper cosas, porque su existencia sería así encarnar contradicciones.

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Por supuesto, usted puede preguntarse, entonces, "¿pero qué acerca de $\infty$? No

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_n = \infty$$

?"

La respuesta es: no, no en el número real del sistema. En el sistema numérico real, el límite no existe. La ecuación anterior se muestra a menudo, pero su significado no es muy claro. Lo que "realmente" significa que es una ecuación en el extendido sistema numérico real, donde un elemento adicional llamado $\infty$ ha sido añadido, y que los resultados en el estado límite como válida. En ese caso, entonces sí, $S = \infty$. Sin embargo, dado que el último párrafo de lo que acabo de decir arriba, algo se tiene que romper para que esto no sea contradictorio. Lo que se rompe es que $\infty$, según una extendida número real, pero no es un número real. Y una vez permitir $S$ tomar extendida real de los valores, de las reglas del álgebra de cambio, como usted está trabajando en un número diferente de sistema - es como ir a los números complejos mediante la adición de $i$. Es decir, en la prolongación de los números reales que son no se permite iniciar con

$$S = 1 + S$$

a continuación, "restar de ambos lados"

$$S - S = (1 + S) - S$$

y, a continuación, en "cancelar". La resta está bien, pero no la cancelación. Ahora no se puede inferir que el lado izquierdo es igual a cero. De hecho, $\infty - \infty$ es, en sí mismo, indefinido, en esta ampliación de la cantidad real del sistema.

Si usted va esta ruta, lo que aprendió en la escuela primaria se cierra de trabajo.

Answer 3

Estás tratando el infinito como si fuera un número. Sin embargo, no lo es y, por lo tanto, no puede realizar operaciones "habituales" como $+$ y $\times$ en él.

Answer 4

Dado que la expresión $1+1+\cdots$ no tiene sentido como un número, no hay nada que pueda probar de ella.

Answer 5

Encontré el infinito mucho más fácil de manejar una vez que entendí lo que considero una verdad muy simple.

"Las operaciones numéricas normales simplemente no funcionan bien si intentas aplicarlas al infinito".

Ya has encontrado una contradicción que ilustra esto. Aquí está otro.

$\infty + \infty = \infty$

Resta $\infty$ de ambos lados y tenemos:

$\infty = 0$