¿Son únicas las descomposiciones de una variable aleatoria en una suma de dos variables aleatorias IID?

Question

Sea $Z$ sea una variable aleatoria de valor real, y supongamos que $Z = X_1 + X_2$ donde $X_1$ y $X_2$ son variables aleatorias i.i.d. Supongamos además que $Z = Y_1 + Y_2$ donde $Y_1$ y $Y_2$ variables aleatorias i.i.d. ¿Se deduce que $Y_1$ y $X_1$ están idénticamente distribuidos?

He buscado distribuciones indecomponibles y distribuciones infinitamente divisibles, pero no he podido encontrar un resultado/ejemplo que responda inmediatamente a la pregunta anterior.

Answer 1

La respuesta es no en general.

En el lenguaje de las funciones características, tenemos $\phi_Z(t)=\phi^2_X(t)=\phi_Y^2(t)$ . Tomar la raíz cuadrada implica $\phi_Y(t)=\pm\phi_X(t)$ para cada $t$ en particular con $\phi_X(t)=\phi_Y(t)$ para $t$ en una vecindad de 0 (ya que $\phi(0)=1$ para cualquier función característica y por continuidad uniforme).

Por lo tanto, esto es cierto si usted requiere que $\phi_X$ y $\phi_Y$ son analítica ya que coincidirían necesariamente en un intervalo y, por tanto, en todas partes.

De lo contrario, no es cierto, lo que significa que $|\phi_X(t)|=|\phi_Y(t)|$ tal que hay $t$ donde $\phi_X(t)\neq \phi_Y(t)$ . Un ejemplo clásico es el siguiente:

Sea $P(X=x)=\frac{2}{\pi^2(2k-1)^2}$ siempre que $x=\pm (2k-1)\pi$ para $k=1,2\cdots$ , $P(X=0)=1/2$ y $P(X=x)=0$ de lo contrario.

Sea $P(Y=y)=\frac{4}{\pi^2(2k-1)^2}$ siempre que $y=\pm (2k-1)\pi/2$ y $k=1,2,\cdots$ y $P(Y=y)=0$ de lo contrario.

Ambas dan lugar a funciones características de "onda triangular" que son periódicas fuera del intervalo especificado:

$$\phi_X(t)=1-|t|, t\in[-1,1], \mbox{ periodic otherwise}$$ $$\phi_Y(t)=1-|t|, t\in[-2,2], \mbox{ periodic otherwise},$$

que parecen: