¿Puede una secuencia converger módulo cada r> 0 pero divergir?

Question

Es posible tener una secuencia $\{x_n\}$ de los números reales que divergen a $\infty$ (y no tiene otro límite finito de puntos), sino satisfacer la condición de que $x_n\pmod{r}$ converge para cada una de las $r>0$?

Soy consciente de resultados relacionados tales como "las partes fraccionarias de $\{n\alpha\}_n$ son densos en $[0,1]$ (y por tanto no convergen)" y más en general las versiones de estas declaraciones, dar contraejemplos para seleccionar los valores de $r$. Sin embargo, me pregunto si el "para cada $r>0$" parte de la declaración que hace la existencia de una $\{x_n\}$ imposible. Siento que este es el caso, pero no han podido venir para arriba con una rigurosa prueba.

Answer 1

La existencia de este tipo de secuencia es imposible. De hecho, si $\{x_n\}$ es una secuencia de números reales divergentes a $\infty$, a continuación, $x_n$ tiene una larga que, para casi todos los $r$, distribuido de forma uniforme mod $r$. Para ver esto, pasar a una larga $\{x_n'\}$ de $\{x_n\}$ conseguir $|x_n'-x_m'|>1$ para todos los $n\neq m$ y aplicar el siguiente Teorema y Corolario.

El siguiente teorema es Corolario 4.3 en Kuipers y Niederreiter clásico Uniforme la Distribución de las Secuencias.

Teorema. Deje $\{x_n\}$ ser una secuencia de distintos números de tal manera que $\inf_{n\neq m} |x_n-x_m|>0$. Luego de Lebesgue-casi todos los $\alpha\in \mathbb R$, la secuencia de $\{x_n\alpha\}$ es distribuido uniformemente mod $1$.

La función de $\alpha \mapsto \frac{1}{\alpha}$ es diferenciable con un valor distinto de cero derivada en cada $\alpha>0$, por lo que si Lebesgue-casi todos los $\alpha$ satisface una propiedad dada, entonces Lebesgue-casi cada valor de $\frac{1}{\alpha}$ también satisface la propiedad. Por lo tanto, obtener el siguiente corolario.

Corolario. Si $\{x_n\}_{n\in \mathbb N}$ es una secuencia de números reales con $|x_n-x_m|>1$ para todos los $n\neq m$, luego de Lebesgue-casi todos los $r>0$, la secuencia de $\{x_n\frac{1}{r}\}$ es distribuido uniformemente mod $1$.

Después de aplicar el Teorema y Corolario, se observa que la si $\{x_n'\frac{1}{r}\}$ es distribuido uniformemente mod $1$, a continuación, $\{x_n'\}$ es distribuido uniformemente mod $r$. Por lo tanto, para casi todos los $r$, la secuencia de $\{x_n \text{ mod } r\}$ tiene un divergentes larga, y por lo tanto no converge.

Answer 2

Dicha secuencia existe si restringe la condición racional $r>0$. De hecho, usted puede elegir una enumeración $\{q_n\}_{n\geq 1}$ de los racionales positivos y para cada una de las $n$, podemos encontrar un entero $d_n\in \mathbb N$ tal que $d_nq_m\in \mathbb N$ para todos los $1\leq m\leq n$. A continuación, establezca $$ x_n=\prod_{m=1}^n (2d_nq_m), $$ que tiene la propiedad de que $x_n\in q_m\mathbb Z$ para todos los $1\leq m\leq n$. Así, la secuencia $\{x_n\}_{n\geq 1}$ tiene la propiedad de que $x_n\mod r$ converge a $0$ para todos racional $r>0$, ya que cada una de dichas $r$ puede ser escrito como $r=q_N$ para algunos $N$, y, a continuación, $x_n\mod r=0$ para todos los $n>N$. Por último, ya que cada término del producto para $x_n$ es $2$ o mayor, tenemos que $x_n\geq 2^n$ lo que implica que $x_n$ diverge a $\infty$ sin límite finito de puntos.

Tenga en cuenta que uno puede modificar este argumento para aplicar a cualquier contables conjunto de los números reales positivos (no sólo los racionales), pero en el caso de una cantidad no numerable de números reales parece ser muy diferentes a los contables del caso.

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Como se señaló en los comentarios, hay una construcción mucho más simple en el racional: $x_n=n!$ tiene la propiedad de que $x_n\mod r=0$ para todos los $r\in\mathbb Q_{>0}$ y todos los $n\geq \textrm{numerator}(r)$.