Antes de atacar la integral, menciono algo sobre cúbicos theta función. Toda la solución fuertemente explota las herramientas de formas modulares. El "pie de página" contiene más información.
Los tres cúbicos theta funciones se definen por $$\begin{aligned}
a(q) &= \sum_{m,n} q^{m^2+mn+n^2}\\
b(q) &= \sum_{m,n} \zeta_3^{m-n} q^{m^2+mn+n^2}\\
c(q) &= \sum_{m,n} q^{{(m+\frac{1}{3})^2+(m+\frac{1}{3})(n+\frac{1}{3})+(n+\frac{1}{3})^2}}
\end{aligned}$$
donde $\zeta_3 = e^{2\pi i/3}$, la suma es sobre todos los $m,n\in \mathbb{Z}$. Entonces se puede demostrar$^1$que
$$a(q)^3 = b(q)^3+c(q)^3$$
$$a(q) = \frac{\eta^3(q) + 9 \eta^3(q^9)}{\eta (q^3)}\qquad b(q) = \frac{\eta^3(q)}{\eta(q^3)}\qquad c(q) = 3\frac{\eta^3(q^3)}{\eta(q)}$$
donde $\eta(q) = q^{1/24} \prod_{n\geq 1}(1-q^n)$ es el Dedekind eta función.
Definir
$$K_3(m) = {_2F_1}(\frac{1}{3},\frac{2}{3};1;m) $$
Similar a las integrales elípticas, denotan $K_3'(m) = K_3(1-m), m' = 1-m$. A continuación, se muestra (omito el subíndice $3$):
$$\frac{d}{dm}(\frac{K'}{K}) = -\frac{\sqrt{3}}{2\pi}\frac{1}{mm'K^2}$$
Por otra parte, dejando $q= \exp(-\frac{2\pi}{\sqrt{3}}\frac{K'(m)}{K(m)})$, la siguiente inversión de la fórmula sostiene$^2$ cuando $0<m<1$:
$$a(q) = K(m)\qquad b(q)=(1-m)^{1/3} K(m)\qquad c(q) = m^{1/3} K(m)$$
Ahora nos ocupamos de la integral, $$I = \frac{1}{3}\int_0^1 {{m^{ - 2/3}}K{{(m)}^2}dm} $$ we make the substitution $q = \exp ( - \frac{{2\pi }}{{\sqrt 3 }}\frac{{K'(m)}}{{K(m)}})$, las fórmulas de arriba implica
$dq = \frac{{q}}{{mm'{K^2}}}dm$, como $m$ aumenta de $0$ a $1$, $q$ aumenta de $0$ a $1$.
$$I = \frac{1}{3}\int_0^1 {\frac{{b{{(q)}^3}c(q)}}{{mm'{K^2}}}dm} = \frac{1}{3}\int_0^1 {\frac{{b{{(q)}^3}c(q)}}{q}dq} = \int_0^1 {\frac{{\eta {{(q)}^8}}}{q}dq} $$
A continuación, voy a utilizar la notación $\eta(q),\eta(\tau)$ de manera intercambiable a través (la notación común en el contexto de las formas modulares), donde $q = e^{2\pi i \tau}$.
Hacer $q=e^{-2\pi x}$, a continuación, $I$se convierte en
$$I = 2\pi \int_0^\infty {\eta {{(ix)}^8}dx} = 2\pi \int_0^\infty {{x^2}\eta {{(ix)}^8}dx} $$
donde en el último paso, yo solía $\eta(-1/\tau) = \sqrt{-i\tau} \eta(\tau)$. Transformar de nuevo a $q$:
$$\tag{1} I = \frac{1}{{4{\pi ^2}}}\int_0^1 {\frac{{{{\ln }^2}q}}{q}\eta {{(q)}^8}dq} $$
Se puede demostrar que$^3$:
$$\eta {(q)^8} = - \frac{1}{2}\sum\limits_{v \in S} {({v_0} - {v_1})({v_1} - {v_2})({v_0} - {v_2}){q^{{{\left\| v \right\|}^2}/6}}}$$
$$S = \left\{ {v \in {\mathbb{R}^3}|v = ({v_0},{v_1},{v_2}) = (3n,3m + 1,3r - 1),n + m + r = 0,n,m,r\in\mathbb{Z}} \right\}$$
con $\|v\|$ la norma de un vector. Enchufe esta en (1):
$$I = \frac{{ - 1}}{{{{(2\pi )}^2}}}{6^3}\sum\limits_{v \in S} {\frac{{({v_0} - {v_1})({v_1} - {v_2})({v_0} - {v_2})}}{{{{\left\| v \right\|}^6}}}} $$
Denotar $\rho = e^{\pi i/3}$. Tenga en cuenta que $({v_0} - {v_1})({v_1} - {v_2})({v_0} - {v_2}) = 2\Re {({v_0} + \rho {v_1})^3}$ e $${\left\| v \right\|^6} = 8{({v_0} + \rho {v_1})^3}{({v_0} + {\rho ^{ - 1}}{v_1})^3}$$
obtenemos
$$I = \frac{{ - 27}}{{2{\pi ^2}}}\Re \sum\limits_{v\in S} {\frac{1}{{{{({v_0} + {\rho ^{ - 1}}{v_1})}^3}}}} = - \frac{{27}}{{2{\pi ^2}}}\Re \sum\limits_{(m,n) \in {\mathbb{Z}^2}} {\frac{1}{{{{(3n + {\rho ^{ - 1}}(3m + 1))}^3}}}}$$
Estos últimos pueden ser reconocidos como una de Eisenstein de la serie de nivel de $3$, pero para calcular su valor, mejor es el uso de Weierstrass elíptica de la función. Deje $\wp_{1,\rho}$ denotar esta función elíptica con períodos de $\{1,\rho\}$, a continuación, $${\wp _{1,\rho }}'(z) = - 2\sum\limits_{n,m} {\frac{1}{{{{(z + n + m\rho )}^3}}}} $$
da
$$I=\frac{1}{{4{\pi ^2}}}\Re \left[{\wp _{1,\rho }}'(\frac{{{\rho ^{ - 1}}}}{3})\right] = \frac{{{\omega ^3}}}{{4{\pi ^2}}}\Re\left[ {\wp _{\omega ,\omega \rho }}'(\frac{{{\omega\rho ^{ - 1}}}}{3})\right]$$
donde $\omega = \Gamma(1/3)^3/(2\pi)$, entonces es bien sabido que modular los invariantes asociados a los períodos de $\{\omega,\omega\rho\}$ se $g_2 = 0, g_3 = 1$. Por lo tanto, ${\wp _{\omega ,\omega \rho }}'(\frac{{\omega {\rho ^{ - 1}}}}{3})$ es el $y$coordenadas de un $3$-torsión de la curva elíptica $y^2 = 4x^3 - g_2 x - g_3 = 4x^3 -1$, que puede ser fácilmente calculado en $\sqrt{3}$. Finalmente terminamos el cálculo:$I = \omega^3\sqrt 3/(4\pi^2)$.
$^1$: Prueba de contorno: $a(q^3),b(q^3),c(q^3)$ son las formas modulares de peso $1$ y el nivel de $27$, por lo tanto, es suficiente para comprobar su $q$-ampliación de cierto poder de $q$. De un sistema autónomo de enfoque se puede encontrar en 1994 en el papel Cúbicos Análogos de la Jacobiana de la Theta de la Función.
$^2$: Prueba de contorno: $f=c^3(\tau)/a^3(\tau)$ es modular la función de $\Gamma_0(3)$, por un hecho en las formas modulares, $b(\tau)$ satisface un 2º orden a la educación a distancia en términos de $f$, sus coeficientes son funciones racionales de $f$ desde modular de la curva de $X(3)$ tiene género $0$. Por lo tanto, en cierta región de $\mathbb{H}$, $b(\tau) = (1-f)^{1/3} K_3(f)$, podríamos sustituir $\tau$ por $\gamma\tau$ para $\gamma\in \Gamma_0(3)$, la modularidad de $b$ nos permite aislar las $\tau$. Pero haciendo esta sustitución podría cambiar en otro lineal solución independiente de la educación a distancia, lo que explica por qué $K'/K$ surge. Los detalles son más delicadas.
$^3$: El exponente $8$ es especial aquí, que es la dimensión de Lie semisimple álgebra $A_2$. Existe la correspondiente fórmula para $\eta(q)^d$ cada semisimple Mentira álgebra con la dimensión de $d$. Ver Afín a Sistemas de raíces y Dedekind la eta-Función de I. G. Macdonald.
