Considere un péndulo amortiguado cuya ecuación de movimiento se da, en general, por $$m\ddot{x}=-\mu\dot{x}-kx$$ where $\mu,k>0$
Reescribir esta ecuación como
$$\ddot{x}+2\gamma\dot{x}+\omega^2x=0,$$
donde $2\gamma = \frac{\mu}{m}$ e $\omega^2 = \frac{k}{m}$.
Si $\gamma>\omega$, las raíces de esta ecuación son reales y distintas. Definir $\beta^2=\gamma^2- \omega^2$. A continuación, las raíces se $-\gamma \pm\beta$.
Yo no tengo ningún problema con esto, la solución es de la forma $$x(t)=e^{-\gamma t}\left(Ae^{\beta t}+Be^{-\beta t}\right).$$
Dadas ciertas condiciones iniciales, $$x(0)=x_0 \quad \text{and} \quad \dot{x}(0)=v_0 $$ Hace el sistema para volver a descansar en un tiempo finito?
Yo no tengo ningún problema aquí. Puedo volver a escribir la solución para que se lea como $$x(t)=Ae^{(-\gamma+\beta)t}\left[1+\frac{B}{A}e^{- 2\beta t}\right]$$ donde la próxima vez, decir $t_1$ tal que $x(t_1)=0$ está dado por $$t_1 = \frac{1}{2\beta}\ln\left(-\frac{A}{B}\right)$$
Aquí es donde tengo problemas, aunque. Me puedo imaginar lo que sucede si $$\frac{A}{B}<-1$$ Puedo elegir algún número arbitrario, digamos -2, por lo que $\ln(-(-2))=\ln(2)$ e lo $t_1$ es finito. En otras palabras, dado cierta velocidad inicial de que el péndulo se mueva de su posición inicial y sin oscilante volver a su posición de equilibrio después de que se $t_1$.
Sin embargo, ahora estoy atascado.
Si $\dfrac{A}{B}\to -\infty$ entonces $t_1 \to \infty$ me puede hacer la paz con. Yo estoy en lo correcto en decir que el sistema es tan sobreamortiguado que este péndulo casi viene a una parada completa y sloooooooooooooowly más de una infinitamente largo período devuelve a su nivel de equilibrio? Si es así, mi cerebro no puede imaginar que, y estoy feliz.
Pero ahora los casos que no se puede hacer la paz con.
Si $A=-B$, es decir, $x(0)=0$, por lo que empezamos en el equilibrio, a pesar de mi velocidad inicial $\dot{x}(0)=v_0$, es cierto que $t_1$ es siempre cero como $\ln(1)=0$. En mi cerebro, me puede la imagen de un péndulo de partida en la posición de equilibrio, volando con algunos locos de la velocidad inicial, y que la ecuación está diciendo a mí, sí.. La próxima vez que se a $0$ es ahora instantáneamente en $0$.
Entonces, ¿qué pasó? Es imposible que el sistema es tan overdamped que casi no amortiguado en todo y el péndulo moscas extremadamente rápido para el equilibrio y luego se detiene de repente, sin disparar pasado. Yo casi quiere decir que es negativamente overdamped.. y que puede no tener sentido.. se puede?
Del mismo modo, Si $-1 <\frac{A}{B} - <0$, a continuación, $t_1$ es negativo.
Del mismo modo, Si $\frac{A}{B} = 0$, o más bien como $\frac{A}{B} \to -0$ entonces $t_1 \to -\infty$ es problemático.
Auto-explicativo ... Si $\frac{A}{B} > 0$ entonces tenemos un ln de un número negativo, que también es problemático.
Así que mi pregunta es, realmente esto. Hay relaciones físicas a los otros 4 casos o es uno de esos "las matemáticas son posibles, pero la física es de sentido" de los escenarios. es decir, Si $\frac{A}{B} > 0$ luego de que la ecuación físicamente no puede ser nunca que representan más de un oscilador amortiguado... o al menos no en este universo. Estoy realmente esperando que sea el caso.
TL;DR - Lo que está sucediendo con sobreamortiguado péndulos? O ¿la ecuación de movimiento se vuelven sin sentido bajo ciertas condiciones iniciales?
PS: voy a poner esto en virtud de la tarea, porque mi cerebro puede ser que falte algo obvio que alguien pueda iluminar. Mi experiencia en matemática aplicada y mecánica de fluidos. Para la vida de mí no puedo imaginar que esta mentalmente o encontrar literatura en línea que se ocupa de estas cuestiones y, desgraciadamente, tengo curiosidad por saber cosas que me molestan.
