Hace poco aprendí que las únicas esferas paralelizables son $\mathbb{S}^1$ , $\mathbb{S}^3$ y $\mathbb{S}^7$ . Esto me llevó a preguntarme:
¿Qué es el $T\mathbb{S}^2$ ? ¿Es difeomorfo a un espacio más familiar? ¿Qué ocurre con $T\mathbb{S}^n$ para $n \neq 1, 3, 7$ ?
EDITAR (para mayor precisión): Es $T\mathbb{S}^2$ difeomorfo a algún producto finito, suma conexa y/o cociente de esferas, espacios proyectivos, espacios euclidianos y grupos lineales?
Su pregunta es quizás demasiado vaga. El haz tangente tiene una definición y eso es lo que es -- presumiblemente estás pidiendo más que esto pero no lo especificas con precisión. Sería bueno editar tu pregunta para hacerla más precisa.
Una descripción de $TS^2$ es que tomas el cilindro de mapeo $SO_3 \to S^2$ donde este mapa es la órbita de un único punto en $SO_3$ La acción natural de $S^2$ por isometrías. Técnicamente, $TS^2$ es el cilindro de mapeo anterior después de borrar el $SO_3$ límite (para que no sea compacto).
Otra descripción de $TS^2$ sería el espacio de configuración de dos puntos en $S^2$ . Precisamente,
$C_2 S^2 = \{ (x,y) \in S^2 \times S^2 : x \neq y \}$
Puede identificar los dos mediante la construcción de un mapa de proyección estereográfica. Hay muchas más construcciones de este tipo. Pero deberías decir lo que buscas, porque la lista es interminable.
Así es como yo lo veo. (Ryan Budney publicó su respuesta mientras yo escribía esto. Se puede pensar en esto como un desarrollo de su respuesta).
En primer lugar, tenemos que entender el haz tangente unitario $T^1 S^2$ . Una vez que sabemos esto, lo producimos con $[0,\infty)$ y luego cociente de todos los puntos de la forma $(u, 0)\in T^1S^2 \times\mathbb{R}$ de alguna manera para obtener la sección 0 $S^2$ . (Ésta es precisamente la construcción del cilindro cartográfico que menciona Ryan).
Antes de poder hablar del "haz tangente unitario", debemos tener una noción de longitud de los vectores. Así que en el fondo, fingir que elegí una métrica riemanniana para que las longitudes tienen sentido.
Reclamo $T^1 S^2$ es difeomorfo a $SO(3)$ (la colección de matrices ortogonales 3 x 3 de determinante 1) que es difeomorfa a $\mathbb{R}P^3$ .
El mapa de $T^1 S^2$ a $SO(3)$ envía $(u,v)$ a la matriz con columnas $u, v, u\times v$ . Aquí, estoy pensando en un vector tangente unitario $v\in T_u S^2$ como vector en $\mathbb{R}^3$ ortogonal al vector $u$ .
La forma más fácil de ver $SO(3)$ y $\mathbb{R}P^3$ son difeomorfos es observar que ambos son cocientes de $S^3 = SU(2)$ por el mismo mapa de cociente.
Por lo tanto, entendemos $T^1 S^2$ los vectores de longitud unitaria en $TS^2$ .
Para tener en cuenta la longitud, producimos con $[0,\infty)$ . Ahora, el único problema es que la sección 0 debería ser un $S^2$ y actualmente es un $\mathbb{R}P^3$ así que debe haber algún cociente.
¿Qué cociente debe producirse? Bueno, todos los vectores unitarios en un punto dado deben colapsar al punto. Bien, existe la acción de un círculo sobre $T^1S^2$ dados por vectores de rotación en el sentido de las agujas del reloj (digamos) vistos desde el vector normal a la esfera. Esta acción es claramente libre. Ahora bien, es un hecho que si traducimos esta acción del círculo a la $SO(3)$ imagen, la acción del círculo es la acción de Hopf. Esto implica que identificamos $\mathbb{R}P^3$ con $S^2$ mediante el cociente por la acción de Hopf: Dos puntos en $\mathbb{R}P^3$ si están en la misma órbita de Hopf.
Por cierto, hace unos días me enteré de que $TS^2$ no es homeomorfo a $S^2\times \mathbb{R}^2$ aunque todavía no estoy seguro de cómo demostrarlo ;-). (Por supuesto, está claro que no son isomorfos de haz, pero aún así podrían ser abstractamente homeomorfos). Sin embargo, no sé nada de los otros haces tangentes no paralizables.
Una respuesta un poco aleatoria, pero si identificamos concretamente $TS^{n-1}$ como la variedad real incrustada $\{ (x, v) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n : \| x \| = 1, \langle x, v \rangle = 0 \}$ entonces es difeomorfa a la cuádrica afín compleja $\{ (z_1, \ldots, z_n) \in \mathbb{C}^n : z_1^2 + \cdots + z_n^2 = 1 \}$ . (Este fue un divertido ejercicio de deberes que hice ayer).
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