Hay un tema similar sobre finito intersecciones y las construcciones para que el caso está bastante claro (por ejemplo, los límites de los números reales se acercó por monótonamente creciente secuencias de números racionales). Pero, es que en el caso de finito simétrica diferencias? No es obvio en absoluto para mí... Lo que la construcción puede ser si es posible (es posible encontrar la bijection entre casi la desunión de la familia y una familia de conjuntos finitos simétrica diferencias)? ¿Cuál es el contra-ejemplo, si no?
Respuesta
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No, esto no es posible.
Piénselo de esta manera: diciendo que $X\triangle Y$ es "pequeño", es decir que $X$ está "cerca" $Y$. Así que contando el número de conjuntos de "cerca" de un dado, podemos obtener un límite en el tamaño de una familia de conjuntos cuyos pares simétricos diferencias son todos los "pequeños".
En concreto, supongamos $X\subseteq\mathbb{N}$ (bien podríamos tomar $\mathbb{N}$ a ser nuestro contables "base"). Luego hay un bijection entre los conjuntos de cerca a $X$ y el finito de conjuntos de productos naturales - enviar un finito $F$ al cierre-a-$X$ establecer $X\triangle F$, e invertir este envían un close-a-$X$ establecer $Y$ para el conjunto finito $X\triangle Y$ - y sólo hay countably muchos de estos últimos.
- Un punto importante aquí es que $\triangle$ permite cancelación: si $X\triangle A=X\triangle B$ entonces $A=B$. De modo que la misma diferencia finita no puede ocurrir más de una vez, y $X\triangle F$ es el único conjunto cuya diferencia simétrica con $X$ es $F$ (y por lo tanto el mapa descrito anteriormente es surjective).
Por lo que cualquier colección de $\mathcal{F}$ de los subconjuntos de $\mathbb{N}$ (o cualquier contables set) cuyos pares simétricos de diferencias finitas se debe contables: recogiendo algunos $X\in\mathcal{F}$, sólo hay countably muchos subconjuntos de $\mathbb{N}$ , cuya diferencia simétrica con $X$ es finito.
