¿Teoría de conjuntos con antielementos?

Question

Esta es una idea que he tenido en mi escritorio durante un tiempo, pero no había llegado hasta ahora.

Supongamos que hay dos tipos de objetos de la teoría de conjuntos, que llamaremos "elementos" y "antielementos". Para cualquier elemento $a$ hay un único antielemento $b$ tal que $a=b^*$ y $\{a\}\cup\{b\}=\emptyset$ y viceversa (' $^*$ ' es una biyección involuntaria de la clase de elementos a la clase de antielementos).

El principio que motivó esta idea fue que es naturalmente posible "sacar" un elemento del conjunto vacío si pensamos en él como una especie de "préstamo". Cuando sacamos un elemento del conjunto vacío le "debemos" al universo ese elemento de vuelta - similar a ese viejo broma sobre cómo un matemático podría interpretar que dos personas entran en un edificio vacío y luego salen tres.

Mi pregunta es la siguiente: ¿Existen problemas específicos y no evidentes derivados de la adición de antielementos a ZF (o NBG)?

Por supuesto, hay algunas cuestiones superficiales como "¿cómo debe funcionar la cardinalidad con los antielementos?" y hay que modificar las definiciones de "unión" y "diferencia"; pero éstas no son demasiado desalentadoras por sí solas. Lo que me preocupa es cualquier contradicción intolerable que surja necesariamente de la existencia de antielementos -algo así como "si (antielementos), entonces no (axioma de extensionalidad)"- que podría no ser inmediatamente obvio.

Tampoco soy la primera persona que sugiere esta idea. Hay algunas referencias al concepto de antielementos/antisets dispersas en la literatura, pero no he podido encontrar nada definitivo (por ejemplo, "Introduction to ZF with Antielements", etc.). Si existe una teoría de conjuntos completamente desarrollada con antielementos, agradecería mucho una referencia.

Papeles:

https://arxiv.org/pdf/0906.3120.pdf

https://arxiv.org/pdf/1701.02993.pdf

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00853859/document

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00946521/document

https://www.csz.com/cyber/html/negsets.pdf

Editar:

Siguiendo la respuesta de Noah Schweber, decidí investigar la lógica que hay detrás del concepto de "antielementos" para ver a dónde nos llevaba. Empecé por considerar la declaración de un conjunto como un caso genérico de comprensión para el que la fórmula a satisfacer es "pertenece al conjunto":

$$\forall X.X=\{x\mid x\in X\}$$

y procedió a definir la unión en consecuencia. Lo que encontré fue que si el conjunto vacío es único, entonces no puede haber un conjunto no vacío $A$ s.t. $A\cup B=\emptyset$ porque lleva a la contradicción $a\in A\implies\neg(a\in A)$ .

Una posible forma de evitarlo es reescribir el axioma del conjunto vacío como

$$\exists X.\forall x.x\in X\iff x^*\in X$$

Answer 1

Considere lo siguiente. Por un lado tenemos $$(\{a\}\cup\{a\})\cup\{a^*\}=\{a\}\cup\{a^*\}=\emptyset$$ pero por otro lado tenemos $$\{a\}\cup(\{a\}\cup\{a^*\})=\{a\}\cup\emptyset=\{a\}.$$ Asociatividad de " $\cup$ "está integrado en el marco subyacente ( $\cup$ no es una operación primitiva, se define en términos de $\in$ y la asociatividad lógica de $\vee$ conduce directamente a la asociatividad algebraica de $\cup$ ). Por lo tanto, se trata de un verdadero problema.

Una esperanza es arreglar esto usando multisets para que $\{a\}\cup\{a\}=\{a,a\}\not=\{a\}$ . Sin embargo, ni siquiera esto resuelve realmente las cosas: ¿qué pasa con infinito ¿sindicatos? Por ejemplo, para $z\in\mathbb{Z}$ dejar $x_z=\{a\}$ si $z$ es par y deja que $x_z=\{a^*\}$ si $z$ es impar; lo que es $$\bigcup_{z\in\mathbb{Z}}x_z?$$ Se puede argumentar que es $\{\}$ o $\{a\}$ o $\{a^*, a^*, a^*\}$ o ... mirando a la unión de diferentes maneras. Y si bien puede haber una forma natural de manejar este caso específico, ¿cómo vas a tratar la situación general en la que el conjunto de índices no tiene ningún orden obvio (o mecanismo similar de desambiguación)?

La única forma que veo para que los antielementos funcionen correctamente es no sólo pasar a los conjuntos múltiples, sino también eliminar el axioma de unión. Pero esto es una gran pérdida.