¿Cuántos valores propios negativos pueden $AB + BA$ tienen cuando $A$ y $B$ ¿son los positivos simétricos definitivos?

Question

Deje que $A, B \in \mathbb R^{n \times n}$ simétrico positivo definitivo. Claramente, cualquier vector propio $v$ de cualquiera de los dos $A$ o $B$ es tal que (tomando por ejemplo un vector propio no cero de $A$ con eigenvalor $ \lambda $ ) $$ v^T(AB + BA) v = 2 \lambda (v^TBv) > 0, $$ así que $AB + BA$ tiene al menos un valor propio positivo. De esta respuesta concluimos que, en la dimensión 2, $AB + BA$ tiene como máximo un valor propio negativo.

¿Cuál es la situación cuando $n$ es general? ¿Podemos tener más de $ \lfloor n/2 \rfloor $ ¿valores propios negativos? (el valor $ \lfloor n/2 \rfloor $ se puede obtener tomando matrices diagonales de bloques con 2x2 bloques correspondientes al ejemplo bidimensional).

Answer 1

$AB+BA$ puede tener $n-1$ valores propios negativos (tiene al menos un valor propio positivo porque su traza es positiva). Sea $B$ sea la matriz simétrica de Toeplitz cuya primera fila es $(1,t,t^3,t^5,\ldots,t^{2n-3})$ : $$ B=\pmatrix{ 1&t&t^3&\cdots&t^{2n-3}\\ t&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ t^3&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&t^3\\ t^{2n-3}&\cdots&t^3&t&1}. $$ Cuando $t>0$ es lo suficientemente pequeño, $B$ es positiva definida. Sea $A^{1/2}=\operatorname{diag}(1,t^2,t^4,\ldots,t^{2n-2})$ . Entonces $$ A^{1/2}BA^{-1/2}=\pmatrix{ 1&t^{-1}&t^{-1}&\cdots&t^{-1}\\ t^3&1&t^{-1}&\cdots&t^{-1}\\ t^7&t^3&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&1&t^{-1}\\ t^{4n-5}&\cdots&t^7&t^3&1}. $$ Ahora pon $S_t=t\,(A^{1/2}BA^{-1/2}+A^{-1/2}BA^{1/2})$ . Entonces $$ S=\lim_{t\to0}S_t =\pmatrix{0&1&\cdots&1\\ 1&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&1\\ 1&\cdots&1&0} $$ tiene un valor propio $-1$ de la multiplicidad $n-1$ . Por lo tanto, $S_t$ tiene $n-1$ valores propios negativos cuando $t$ es pequeño. En consecuencia, por la ley de inercia de Sylvester, $$ AB+BA=\frac{1}{t}A^{1/2}S_tA^{1/2} $$ tiene $n-1$ valores propios negativos también cuando $t>0$ es lo suficientemente pequeño.

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Editar. Acabo de descubrir que un par de ejemplos diferentes de $A$ y $B$ basado en la construcción recursiva ya se había dado en un responder a otra pregunta.