Esta mañana tuve un contraejemplo, usando esto:
La brecha. $\sum_1^\infty\frac{\cos(nt)}{n^{1/2}}$ no es la serie de Fourier de una función en $L^1(\Bbb T)$ .
No está probado: Juro que ayer leí que esto fue probado por Hardy&Littlewood. Hoy no lo encuentro. Pero todo lo que necesito es una declaración mucho más débil:
Cor. Si $p>2$ existe una secuencia $(a_n)\in\ell_p(\Bbb Z)$ tal que la serie $\sum a_n e^{int}$ no converge en $L^1(\Bbb T)$ .
Y eso lo puedo demostrar yo solo. En primer lugar, hay que tener en cuenta que la desigualdad de Hausdorff-Young falla para valores del parámetro distintos de aquellos para los que se cumple:
Recall que si $q\in[1,2)$ existe $f\in C(\Bbb T)$ tal que $\sum|\hat f(k)|^q=\infty$ .
La demostración es inmediata a partir del Teorema del Grafo Cerrado y de la Polinomios Rudin-Shapiro (si no puedes encontrar los polinomios R-S en Wikipedia, avísame y lo arreglaremos). O véase la sección sobre la desigualdad de Hausdorff-Young en Lo complejo se hace sencillo para una construcción explícita de la joroba de deslizamiento sin CGT.
Prueba del corolario: Sea $f\sim\sum c_ne^{int}\in C(\Bbb T)$ sea como la anterior, con $q=p'$ . Desde $\sum|c_k|^{p'}=\infty$ existe una secuencia $(a_k)\in\ell_p$ con $a_k\overline{c_k}\ge0$ y $\sum a_k\overline{c_k}=\infty$ . Dejemos que $s_n(t)=\sum_{k=-n}^n c_ke^{ikt}$ . Ahora $\langle f, s_n\rangle=\sum_{k=-n}^n a_k\overline{c_k}\to\infty$ ya que $f$ está acotado esto implica que $||s_n||_1\to\infty$ .
Lema estúpido (SL). Existe $\phi\in C^\infty_c(\Bbb R)$ tal que $\hat\phi$ no tiene cero en $\Bbb R$ .
"Estúpido" quiere decir que seguramente si simplemente lo afirmara nadie lo dudaría. Pero en fin:
Prueba. Digamos que $\psi\in C^\infty(\Bbb R)$ , $\psi\ne0$ . Si dejas que $\tilde\psi(t)=\overline{\psi(-t)}$ entonces $\widehat{\psi*\tilde\psi}=|\hat\psi|^2$ . Desde $\hat\psi$ se extiende a una función entera que tiene a lo sumo un número contable de ceros; por lo tanto, existe $a\in\Bbb R$ tal que $$|\hat\psi(\xi)|^2+|\hat\psi(\xi-a)|^2>0\quad(\xi\in\Bbb R).$$
Lema Medio Obvio (MOL). Si $\hat f$ es localmente integrable para cada $f\in L^p$ entonces para cada $A>0$ existe $c_A$ tal que $\int_{-A}^A|\hat f|\le c_A||f||_p$ .
Prueba. Por el Teorema del Grafo Cerrado basta con demostrar que si $f_n\to f$ en $L^p(\Bbb R)$ y $\hat f_n\to g$ en $L^1([-A,A])$ entonces $g=\hat f$ . Pero $f_n\to f$ en $\mathcal S'$ (ya que $\mathcal S\subset L^{p'}$ ), por lo que $\hat f_n\to\hat f$ en $\mathcal S'$ . Así que por cada $\phi\in C^\infty_c((-A,A))$ tenemos $$\int\phi\hat f=\lim\int\phi\hat f_n=\int\phi g.$$
Y ahora hemos terminado:
Teorema. Si $p>2$ existe $f\in L^p(\Bbb R)$ tal que la distribución $\hat f$ no es localmente integrable.
Prueba. Supongamos que no. De SL se deduce que existe $\phi\in C^\infty_c$ tal que $\phi$ es compatible con $(-1/2,1/2)$ y $\hat\phi$ no tiene cero. Sea $(a_n)$ sea como en el corolario y defina $$f(t)=\sum_{ n\in\Bbb Z}a_n{\phi(t-n)}.$$ La serie que define $f$ converge en $L^p$ por lo que MOL implica que la serie $$\hat f(\xi)=\sum_na_n\hat\phi(\xi)e^{in\xi}$$ converge en $L^1([0,2\pi])$ . Desde $\hat\phi$ es continua y no tiene cero esto contradice el Corolario anterior (porque $1/\hat\phi$ está acotado en $[0,2\pi]$ ).
