Cómo avanzar más en este problema de progresión aritmético-geométrica

Question

Pregunta:

La suma de los $n$ términos de la serie,

$S=1+5(\frac{4n+1}{4n-3})+9(\frac{4n+1}{4n-3})^2+13(\frac{4n+1}{4n-3})^3+....$

La siguiente imagen es de mi enfoque hacia el problema.

Podría usted por favor indique cómo proceder? He procedido de esta manera ya que yo no quiero a la taza-hasta la complicada fórmula para AGP suma.

La respuesta final es $n(4n-3)$

Answer 1

¡Tu enfoque es correcto! Ahora para $x=\frac{4n+1}{4n-3}$ , encontramos que $$S_n=\frac{x^n((4n-3)x-(4n+1))+(3x-1)}{(x-1)^2}=\frac{0+(3x-1)}{(x-1)^2}=n(4n-3).$ $

Answer 2

Tenga en cuenta que $$x=1+\frac {4}{4n-3}$$ so $$1-x=\frac {-4}{4n-3}$ $

Sustituya en su última línea y obtendrá el $$s_n=n(4n-3)$ $

Answer 3

Por su trabajo $$S=\frac{1}{1-x}-4\frac{x(x^{n+1}-1)}{(x-1)^2}-\frac{(4n-3)x^n}{1-x}$ $