¿Un esquema (no necesariamente afines) $X = \bigcup_{i=1}^n X_{f_i}$, es $(f_1, \ldots, f_n) = (1)$ $\mathcal{O}_X(X)$?

Question

Esto por supuesto es cierto en el afín caso, por lo que parece que debería ser cierto en general, debido a que $\mathcal{O}_X(X)$ debe ser "menor" no afín esquema que para un similar esquema afín (por ejemplo, global todas las secciones de más de un esquema proyectivo son constantes). Para que quede claro en la notación:

$X$ es un esquema, no necesariamente afines.

$f_1, \ldots, f_n \in \mathcal{O}_X(X)$.

$X_f := \{ x \in X \; | \; f_x \not \in \mathfrak{m}_{X, x} \}$ donde $\mathfrak{m}_{X, x}$ es el máximo ideal de la paja $\mathcal{O}_{X, x}$

$X = X_{f_1} \cup \cdots \cup X_{f_n}$

De lo anterior se sigue que el$(f_1, \ldots, f_n) = (1)$$\mathcal{O}_X(X)$?

Tenemos $(f_1|_U, \ldots, f_n|_U) = (1)$ $\mathcal{O}_X(U)$ donde $U \subset X$ está abierto afín, pero no veo la manera de hacerlo extensivo a todos los de $X$.

Answer 1

No. Que $X = \mathbb{A}^2 \setminus (0,0)$. $\mathcal{O}(X) = k[x,y]$ Y $X = X_x \cup X_y$. Sin embargo, el ideal $\langle x,y \rangle$ $k[x,y]$ no $1$.

El plano con un punto eliminado debe ser en su caja de herramientas estándar para probar cosas.

Answer 2

Este es un comentario largo, que podría conducir a un contraejemplo.

La pregunta es equivalente a: Vamos a $f : \mathcal{O}_X^n \to \mathcal{O}_X$ ser un surjective homomorphism de cuasi-coherente de los módulos en $X$. Es también surjective global secciones? Si $K$ indica que el núcleo de $f$, el largo de la secuencia exacta de cohomology grupos asociados a (*) $0 \to K \to \mathcal{O}_X^n \to \mathcal{O}_X \to 0$ nos dice que una condición suficiente es que $H^1(X,K)=0$. Tenga en cuenta que $K$ es un vector paquete de rango $n-1$, puesto que (*) se divide a nivel local.

Esto demuestra por un lado que algunos esquemas satisfacen la propiedad (afín a los esquemas y $\mathbb{P}^1$, tal vez alguien puede añadir más ejemplos), pero por otro lado, se muestra cómo construir contraejemplos: Encontrar $X$ que admite vector paquete de $K$ que encaja en alguna secuencia (*) tal que $H^1(X,\mathcal{O}_X)=0$, pero $H^1(X,K) \neq 0$.

Probablemente ya hay ejemplos al $X$ es una variedad que está cubierto por dos cuñados.