¿Qué nos permite utilizar números imaginarios?

Question

¿Qué axioma o definición dice que las operaciones matemáticas como +, -, / y * operan con números imaginarios?

Al principio, cuando sólo había reales, estas operaciones se definían para ellos. Entonces, i se creó, literalmente, un número cuyo valor es indefinido, como, por ejemplo, uno dividido por cero es indefinido.

¿Alguien sabe cómo se ampliaron los rangos y dominios de las operaciones matemáticas para incluir los imaginarios?

EDIT: Un comentario interesante señala un primer uso de los números complejos donde,

esos valores se cancelarían al final.

¿Pero puedo refutar eso con "a partir de una incoherencia, cualquier cosa es demostrable"?

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Una pregunta corolario: ¿Podría definir un nuevo número z que es 1/0 y simplemente empezar a usarlo? Parece ridículo.

Answer 1

¡Podemos hacer lo que queramos!

En concreto, podemos definir todo lo que queramos (siempre que nuestras definiciones no se contradigan). Así que si queremos permitirnos usar números imaginarios, todo lo que tenemos que hacer es escribir algo como lo siguiente:

Definir un número complejo como un par ordenado de la forma $(a, b)$ , donde $a$ y $b$ son números reales.

Definir $i$ como el número complejo $(0, 1)$ .

Si $(a, b)$ y $(c, d)$ son números complejos, defina $(a, b) + (c, d)$ como $(a + c, b + d)$ .

Si $(a, b)$ y $(c, d)$ son números complejos, defina $(a, b) \cdot (c, d)$ como $(ac - bd, ad + bc)$ .

Y definir la resta y la división de forma similar.

¿Es eso? ¿Hemos terminado? No, todavía hay más cosas que queremos hacer. Hay un montón de teoremas útiles sobre los números reales que también se aplican a los números complejos, pero no conozca que se aplican a los números complejos hasta que los probemos. Por ejemplo, un teorema muy útil sobre los números reales es:

Teorema : Si $a$ y $b$ son números reales, entonces $a + b = b + a$ .

El teorema análogo sobre los números complejos es:

Teorema (aún no está probado): Si $a$ y $b$ son números complejos, entonces $a + b = b + a$ .

Este teorema es, de hecho, cierto, pero no conozca que era verdad hasta que alguien lo demostró.

Una vez que hemos demostrado todos los teoremas que queremos demostrar, entonces podemos decir que hemos "terminado".

(¿Acaso nosotros tienen para demostrar estos teoremas? No, no tenemos que hacerlo si no queremos. Pero sin estos teoremas, los números complejos no son muy útiles).

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En cuanto a su pregunta corolario:

¿Podría definir un nuevo número $z$ que es $1/0$ y simplemente empezar a usarlo? Parece ridículo.

Sí, puede hacerlo. Todo lo que tienes que hacer es escribir:

Supongamos que existe un valor $z$ . Definir $1/0$ como $z$ .

Y eso es perfectamente válido; esta definición no contradice ninguna otra. Es completamente legal, aceptable y adecuada.

¿Es eso? ¿Hemos terminado? Probablemente no; hay más cosas que nos gustaría hacer. Por ejemplo, ¿qué crees que $z \cdot 0$ ¿es? Aquí hay un par de teoremas que podríamos como para usar, pero no podemos. Echemos un vistazo a ellos:

Teorema : Si $x$ es un número real, entonces $x \cdot 0 = 0$ .

Teorema : Si $x$ y $y$ son números reales, y $y \ne 0$ entonces $(x / y) \cdot y = x$ .

¿Ves por qué no podemos usar estos teoremas?

¿El primer teorema nos dice que $z \cdot 0 = 0$ ? No, porque no sabemos que $z$ es un número real. Así que el primer teorema no se aplica.

¿Y el segundo teorema? Sabemos que $z = 1/0$ . ¿El segundo teorema nos dice que $(1 / 0) \cdot 0 = 1$ (y por lo tanto $z \cdot 0 = 1$ )? No, porque el segundo teorema sólo es aplicable cuando el denominador no es $0$ y aquí, el denominador es $0$ . Así que el segundo teorema tampoco se aplica.

Si queremos, podemos añadir más definiciones y quizás hacer que algunos de estos teoremas "funcionen" para $z = 1/0$ Al igual que tenemos un montón de teoremas que "funcionan" para los números complejos. Pero cuando hacemos esto, nos encontramos con muchos problemas. En lugar de abordar estos problemas, la mayoría de los escritores matemáticos simplemente se niegan a definir $1/0$ . (Eso es lo que dice la frase " $1/0$ es indefinido" significa: la expresión $1/0$ es una expresión indefinida, porque nos hemos negado a definirla).

Answer 2

A riesgo de sonar como un posmodernista: todos los números son imaginarios.

Hace tiempo, alguien hizo una abstracción: qué es lo que tiene en común esta colección de ovejas con el número de dedos de mi mano izquierda, y llamó a esa cosa "cinco". No se introdujeron incoherencias y se hicieron grandes simplificaciones.

Alguien preguntó cómo dividir dos tartas entre tres personas y nació la abstracción de las fracciones. Alguien pensó en la deuda y nació la abstracción de los números negativos. Alguien se dio cuenta de que las fracciones positivas y negativas no describían la naturaleza intuitiva de un continuo y nació la abstracción de los reales.

Y finalmente alguien abstrajo las soluciones a $x^2 + 1 = 0$ No son más imaginarias que las demás abstracciones, todas son producto de la imaginación humana. El nombre de "números imaginarios" es desafortunado.

Usted dice: ¿por qué no puedo abstraer una solución a $0*z = 1$ es decir $1/0$ ? El problema es que tu abstracción será incompatible con tus otras abstracciones, es decir, romperás la aritmética. Pero hay áreas de la geometría (por ejemplo, las transformaciones de Mobius del plano) en las que hay una forma consistente de hacer un poco de aritmética con una idea de $1/0 = \infty$ (aunque hay que tener cuidado de mantener la coherencia).

Answer 3

¿Qué axioma o definición dice que las operaciones matemáticas como +, -, / y * operan con números imaginarios?

Es la teoría de conjuntos la que nos permite dar un fundamento riguroso a los números complejos. En particular, como se explica aquí el axioma de emparejamiento juega un papel crucial, nos permite construir el conjunto de productos $\,\Bbb R^2\,$ y luego reducir la aritmética compleja a la aritmética en pares de los reales - como hizo Hamilton cuando dio la primera construcción rigurosa de $\,\Bbb C,\,$ representando a $\,a + b\,i $ por la pareja $\,(a,b)\,$ con operaciones

$$\begin{align} (a\!+\!bi) + (c\!+\!di) &=\ \, a\!+\!c\!+\! (b\!+\!d)i\\[.2em] \rightsquigarrow\, (a,\ \ b)\ + (c,\ \ d)\ &= (a\!+\!c,\ \ \ b+d)\\[.4em] (a\!+\!bi)\times (c\!+\!di) &= \ ac\!-\!bd\!+\!(ad\!+\!bc)i\\[.2em] \rightsquigarrow\, (a,\ \ b) \ \times\ (c,\ d)\, \ &= (ac\!-\!bd,\ \ ad\!+\!bc) \end{align}\qquad\qquad$$

Esto reduce la consistencia de $\,\Bbb C\,$ a la consistencia de $\,\Bbb R\,$ es decir, cualquier contradicción derivada en $\,\Bbb C\,$ daría lugar a una contradicción en tales pares de reales, por lo que una contradicción en $\,\Bbb R.$

Además, un logro importante de la construcción teórica de conjuntos de $\,\Bbb C\,$ (y estructuras algebraicas) es que elimina la sintaxis y la semántica imprecisas en los enfoques informales. El término impreciso $\, a + b\, i\, $ se sustituye por su representación teórica de conjuntos rigurosa $\,(a,b)\,$ - que elimina muchas ambigüedades, por ejemplo, las dudas sobre el significado de los símbolos $\,i\,$ y $\,+\,$ y $\,=\,$ en la aritmética compleja. Este tipo de preguntas proliferaron en los primeros desarrollos de los números complejos, y sin la teoría de conjuntos ni ningún otro fundamento riguroso era difícil dar respuestas precisas y convincentes. Por ejemplo, a continuación se muestra cómo Cauchy trató de explicarlas.

En análisis, llamamos expresión simbólica a toda combinación de símbolos o signos algebraicos que no significa nada por sí misma, pero a la que se atribuye un valor distinto del que naturalmente debería tener [...]. ] Del mismo modo, llamamos ecuaciones simbólicas a aquellas que, tomadas literalmente e interpretadas según las convenciones generalmente establecidas, son inexactas o no tienen ningún significado, pero de las que se pueden deducir resultados exactos, cambiando y alterando, según reglas fijas, las ecuaciones o los símbolos que contienen [...] Entre las expresiones y ecuaciones simbólicas cuya teoría tiene una importancia considerable en el análisis, se distinguen especialmente las que se han llamado imaginarias. -- Cauchy, Cours d'analyse,1821, S.7.1

No es de extrañar que los compañeros de Cauchy no se dejaran convencer por estas argucias, por ejemplo, Hankel respondió

Si hubiera que hacer una crítica a este razonamiento, no podemos ver por dónde empezar. Debe haber algo "que significa nada", o "que se le asigna un valor diferente al que debería ser naturalmente", algo que "no tiene sentido" o que es "incorrecto", unido a otro tipo similar, produciendo algo real. Tiene que haber "signos algebraicos" - ¿son éstos signos para cantidades o qué? ya que un signo debe designar algo - combinado entre sí de manera que tenga "un sentido". No creo Creo que no exagero al llamar a esto un ininteligible juego de palabras, impropio de las matemáticas, que están orgullosas y con razón, de la claridad y la evidencia de sus conceptos. $\quad$ -- Hankel

La eliminación por parte de Hamilton de estos símbolos "sin sentido" -en favor de los pares de reales- supuso un gran paso adelante para situar los números complejos sobre una base más aceptable para sus contemporáneos. Aunque todavía no existía ninguna teoría de conjuntos que permitiera axiomatizar rigurosamente la noción de pares, resultaba mucho más fácil aceptarla ingenuamente, sobre todo teniendo en cuenta la interpretación geométrica de los números complejos ya conocida y estrechamente asociada.

Ver dicha respuesta para profundizar en este tema y en otros relacionados (lo anterior está extraído de allí).

Answer 4

Los axiomas "necesarios y suficientes" para definir los números complejos son

$$(a,b)+(a',b')=(a+a',b+b')$$

$$(a,b)\cdot(a',b')=(aa'-bb',ab'+a'b).$$

(La resta y la división pueden definirse como las inversas de la suma y la multiplicación, como es habitual).

En particular,

$$(a,b)+(0,0)=(a,b)$$ para que $(0,0)$ es el cero y

$$(a,b)\cdot(1,0)=(a,b)$$ para que $(1,0)$ es la unidad.

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Como puedes comprobar, $(a,b)$ también puede representarse como la expresión $a+ib$ , donde $i$ es un símbolo reservado, con las reglas de cálculo habituales en los polinomios (con $i$ visto como la variable). Usando esta notación, $$(0,1)\cdot(0,1)=(-1,0)$$

se traduce en el famoso

$$i^2=-1.$$

Como puede comprobar, la representación de "par" y la de " $i$ " son completamente intercambiables. $i$ tiene una interpretación geométrica sencilla: en un plano 2D, la multiplicación por $i$ corresponde a una rotación alrededor del origen de un cuarto de vuelta.

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Tenga en cuenta que aquí no hay absolutamente ninguna operación indefinida.

Answer 5

Por qué "añadir un nuevo elemento" $i$ con $i^2 = -1$ a $\Bbb R$ "obras", la causa técnica.

Lo que significa "funciona": queremos un extensión de campo de $\Bbb R$ . Intuitivamente, un conjunto mayor que $\Bbb R$ (esta es la parte fácil) que también es un campo tenemos dos operaciones $+$ y $\cdot$ ampliando las operaciones suma y producto de $\Bbb R$ y verificar las mismas propiedades (ver https://en.wikipedia.org/wiki/Field_(matemáticas) ). Esta es la parte difícil.

La "adición de un nuevo elemento" $i$ con $i^2 = -1$ tiene perfecto sentido en álgebra: estamos tomando el cociente $$\Bbb R[x]/(x^2 + 1)$$ donde $\Bbb R[x]$ es el anillo polinómico en una indeterminada y $(x^2 + 1)$ es el ideal generado por $x^2 + 1$ .

El hecho esencial: un cociente así será un campo si el ideal es máximo . Puede comprobar fácilmente que $(x^2 + 1)$ es máxima porque $x^2 + 1$ es un polinomio de grado 2 sin raíces en $\Bbb R$ . También es importante: el cociente contiene (una copia isomorfa de) $\Bbb R$ estrictamente.

Dos ejemplos en los que "añadir un nuevo elemento" no "funciona":

• $\Bbb R[x]/(x)$ es un campo porque $(x)$ es un ideal maximal, pero el cociente es isomorfo a $\Bbb R$ .

• $\Bbb R[x]/(x^2)$ no es un campo porque $(x^2)$ no es un ideal máximo.