Clasificación de soluciones a$f^n(x) = x$

Question

Deje $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser continua en todas partes en $\mathbb{R}$ excepto en algunas conjunto finito.

Supongamos también tenemos $f^n(x) = x$ para todos los $x$ donde $f$ está definido. Tenga en cuenta que por $f^n(x)$ me refiero a la $n$th composición de $f$ con sí mismo. Dado un fijo $n$, ¿cómo se puede clasificar todas las soluciones para esto?

Para $n=1,2$ esto es bastante fácil.

Pero cuando $n=3$ tenemos por ejemplo, $f(x) = \frac{1}{1-x}$. No es obvio cómo encontrar todas las soluciones a $f^3(x) = x$.

Answer 1

Aquí está la $n=2$ de casos, donde ya no es tan simple.

Considerar la máxima abrir los intervalos en que $f$ es continua y $f(x) \ne x$. De estos intervalos, vamos a $A_k$ ser aquellos en los que $f(x) > x$ e $B_k$ las que $f(x) < x$.
Tenga en cuenta que si $f(x) > x$, $f(f(x)) = x < f(x)$. Por lo tanto $f$ debe asignar a cada intervalo de $A_j$ en un intervalo de $B_k$, y, a continuación, $B_k$ a $A_j$. Por otra parte, es fácil ver estos mapas deben ser de 1-1 y en.

Por otro lado, considere la posibilidad de cualquier partición de $\mathbb R$ en un número finito de intervalos. El conjunto de los extremos de estos intervalos pueden asignarse a sí mismo por cualquier permutación cuyo cuadrado es la identidad (por lo que un producto de distintos transposiciones). Deje que algunos de los intervalos abiertos para vincularse con los demás; en los intervalos impares sólo tomamos $f(x)=x$. Si el intervalo de $A$ está vinculado con intervalo de $B$, vamos a la restricción de $f$ a $A$ ser cualquier homeomorphism de $A$ a $B$, y la restricción a $B$ ser la inversa de la que homeomorphism. El resultado es una función de $f$ tal que $f^2(x)=x$, continua salvo en el conjunto de los extremos.

Answer 2

Deje $S \subset \mathbb{R}$ ser un conjunto finito y $f : \mathbb{R} \setminus S \to \mathbb{R} \setminus S$ ser una función continua que satisface $f^n = id$ para algunos entero $n \ge 2$. A continuación, $f$ admite un continuo inverso $f^{-1} = f^{n-1}$ es decir, es un homeomorphism. Nuestro objetivo es demostrar que $f$ puede ser descompuesto en bloques y que cada "bloque" es homeomorphically conjugado con algunos 'bloque estándar'.

Descomposición en irreducibles de bloques. Deje $C_f = \pi_0(\mathbb{R}\setminus S)$ denotar la (finito) conjunto de componentes conectados de $\mathbb{R}\setminus S$. A continuación, $f$ induce una acción cíclica grupo $C_n$ a $C_f$. Si $O \subset C_f$ es una órbita de esta acción, entonces denota por $I_O$ el reencuentro de los intervalos que son elementos de la $O$, obtenemos que $f_O := \left. f \right|_{I_O} : I_O \to I_O$ es un homeomorphism que satisface $(f_O)^k = id$ para algunos divisor $k$ de $n$. (Observar que $k$ es igual al número de elementos en $O$.) Por lo tanto $f$ puede ser descrito como el 'reencuentro' de muchos de sus 'bloques' $f_O$. Por lo tanto, es suficiente para el estudio de las funciones de $f_O$ (que actúa transitivamente sobre su conjunto de componentes conectados).

La conjugación de los irreductible bloques de mapas estándar. Para simplificar las notaciones, simplemente escribir $f = f_O$, $I = I_O = \mathrm{dom}(f) = \mathrm{codom}(f)$ y también se $k=n$. Ahora consideremos el conjunto $I_n := \sqcup_{i=1}^n (i-1, i)$ y observar que no hay una homeomorphism $h : I_n \to I$. El mapa de $f_h := h^{-1} \circ f \circ h : I_n \to I_n$ satisface $f_h^n = id$ y actúa transitivamente sobre su conjunto de componentes conectados. De hecho, podemos optar $h$ , de modo que $f_h$ envía el intervalo de $(i-1,i)$ a $(i, i+1)$ (donde $i$ es tomado del modulo $n$).

Descripción de los mapas estándar. Los posibles mapas de $f_h : I_n \to I_n$ son fáciles de describir. Para $i=1, \dots, n-1$, cada mapa $f_{h,i} := \left. f_h \right|_{(i-1,i)} : (i-1, i) \to (i, i+1)$ puede ser cualquier homeomorphism elegido de forma independiente el uno del otro. La única restricción $f_{h,n} := \left. f_h \right|_{(n-1,n)} : (n-1, n) \to (0, 1)$ es elegido como $f_{h,1}^{-1} \circ \dots \circ f_{h,n-1}^{-1}$. Cualquier mapa satisface $f_h^n = id$.