Comprensión de un número complejo prueba de que existe un equiangular convexo $1990$ -gon con lados $1^2$ , $2^2$ , $\ldots$ , $1990^2$

Question

OMI 1990, Problema B3 dice:

Demostrar que existe una convexa $1990$ -gon tal que todos sus ángulos son iguales y las longitudes de los lados son los números $1^2$ , $2^2$ , $\ldots$ , $1990^2$ en cierto orden.

Tengo un problema para entender el solución de Robin Chapman reproducido aquí:

"En el plano complejo podemos representar los lados como $p_n^2w^n$ donde $p_n$ es una permutación de $(1, 2, \ldots , 1990)$ y $w$ es una primitiva $1990$ raíz de la unidad.

El punto crítico es que $1990$ es un producto de más de $2$ primos distintos: $1990 = 2\cdot 5\cdot 199$ . Así que podemos escribir $w = -1\cdot a\cdot b$ donde $-1$ es primitivo $2$ a raíz de la unidad, $a$ es una primitiva $5$ raíz de la unidad, y $b$ es una primitiva $199$ raíz de la unidad.

Ahora dado uno de los $1990$ podemos escribirla como $(-1)^ia^jb^k$ donde $0 < i < 2$ , $0 < j < 5$ , $0 < k < 199$ y por lo tanto asociarlo con el número entero $r(i,j,k) = 1 + 995i + 199j + k$ . Se trata de una biyección sobre $(1, 2, \ldots , 1990)$ . Tenemos que demostrar que la suma de $r(i,j,k)^2 (-1)^ia^jb^k$ es cero.

Primero sumamos $i$ . Esto da $-9952 \times \text{sum of $ a^jb^k $}$ que es cero, y $-1990 \times \text{sum $ s(j,k) a^jb^k $}$ donde $s(j,k) = 1 + 199j + k$ . Así pues, basta con demostrar que la suma de $s(j,k) a^jb^k$ es cero. Ahora sumamos sobre $j$ . En $1 + k$ parte de $s(j,k)$ da inmediatamente cero. El $199j$ parte da una constante veces $b^k$ que da cero cuando se suma sobre $k$ ."

No he entendido bien los detalles de la solución, especialmente cómo se dividen y calculan los sumandos. Agradecería a cualquiera que me aclarara la solución en detalle.

Answer 1

Para la parte algebraica (averiguar por qué la suma es cero) el enunciado que realmente utilizamos es el siguiente: sea $m,n,p > 1$ , $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ respectivamente primitivo $m$ -raíces, $n$ -raíces, y $p$ -raíces de unidad.

Sea $P(x,y,z)$ sea un polinomio de grado como máximo $2$ .

Entonces $$\sum_{0 \leq i < m}\sum_{0 \leq j < n}\sum_{0 \leq k < p}P(i,j,k)\alpha^i\beta^j\gamma^k=0.$$

Para la prueba, basta con demostrarlo cuando $P$ es un monomio, y como $P$ tiene grado $2$ podemos suponer sin pérdida de generalidad que $P$ no depende de $z$ .

Pero entonces $$\sum_{0 \leq i < m}\sum_{0 \leq j < n}\sum_{0 \leq k < p}P(i,j,k)\alpha^i\beta^j\gamma^k=\sum_{0\leq i < m}\sum_{0 \leq j < n}\sum_{0 \leq k < p}P(i,j,0)\alpha^i\beta^j\gamma^k = \sum_{i,j}{f(i,j)}\sum_k{\gamma^k}=0,$$ desde $\sum_{0 \leq k < p}{\gamma^k}=0$ .

Volviendo al aspecto geométrico, para todos los $1 \leq i \leq 1990$ consideremos el triple $u(i)$ tal que $(-1)^{u_1(i)}a^{u_2(i)}b^{u_3(i)}=\omega^i$ para una primitiva fija $1990$ -enésima raíz de la unidad $\omega$ y $i \longmapsto r(u(i))$ es una permutación de $\{1,\ldots,1990\}$ . Entonces defina $z_0=0$ y para todos $1 \leq i \leq 1990$ , $z_i=z_{i-1}+r(u(i))^2\omega^i$ .

Entonces $z_{1990}=0$ y el polígono $z_1,\ldots,z_{1990}$ dibujado en el plano complejo, funciona.