¿Hay un formulario cerrado para$\int_a^b\frac{{\rm arccosh}x}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}$?

Question

He resuelto $$\int^3_1\dfrac{{\rm arccosh}x}{\sqrt{(x-1)(3-x)}}{\rm d}x=4G$$where $ G$ is Catalan constant, by rewriting it into double integral $$\iint_{[0,\pi]\times[0,\pi]}\ln(2-\cos x-\cos y){\rm d}x{\rm d}y$ $ y lo he calculado utilizando la regla integral de Leibniz.

Ahora mi pregunta aquí es:

¿Existe una forma cerrada para la integral $$\int_a^b\dfrac{{\rm arccosh}x}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}{\rm d}x$$ as $ b> a> 0 $ ? ¿O es solo una coincidencia?

Answer 1

Con el fin de dar un poco de perspicacia voy a mostrar una derivación para $a=1$, donde de una forma cerrada en términos de la Tangente Inversa de la Integrales: $$\bbox[10pt, border:2px, lightblue]{\int_1^s \frac{\operatorname{arccosh}x}{\sqrt{(x-1)(s-x)}}dx=4\operatorname{Ti}_2\left(\sqrt{\frac{s-1}{2}}\right),\ s>1}$$ Vamos a empezar con la sustitución de $\frac{s-x}{s-1}=t$ para obtener: $$\int_1^s \frac{\operatorname{arccosh}x}{\sqrt{(x-1)(s-x)}}dx=\int_0^1 \frac{\operatorname{arccosh}(s-(s-1)t)}{\sqrt{t}\sqrt{1-t}}dt\overset{t=x^2}=2\int_0^1\frac{\operatorname{arccosh}(s-(s-1)x^2)}{\sqrt{1-x^2}}dx$$ $$\overset{IBP}=4\int_0^1 \frac{x\arcsin x}{\sqrt{(1-x^2)\left(\frac{s+1}{s-1}-x^2\right)}}dx\overset{x=\sin t}=4\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{t\sin t }{\sqrt{\frac{2}{s-1}+\cos^2 t}}dt\overset{\cos t=x}=4\int_0^1\frac{\arccos x}{\sqrt{\frac{2}{s-1}+x^2}}dx$$ $$\overset{IBP}=4\int_0^1 \frac{\operatorname{arcsinh} \left(x\sqrt{\frac{s-1}{2}}\right)}{\sqrt{1-x^2}}dx\overset{x=\sin t}=4\int_0^\frac{\pi}{2}\operatorname{arcsinh} \left(\sqrt{\frac{s-1}{2}}\sin t\right)dt$$ $$=4\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n\binom{2n}{n}}{(2n+1)4^n}\left(\sqrt{\frac{s-1}{2}}\right)^{2n+1}\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2n+1}t dt=4\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}\left(\sqrt{\frac{s-1}{2}}\right)^{2n+1}$$ Anteriormente se utilizó la serie de Maclaurin para $\operatorname{arcsinh} z $ y la de Wallis integral. Finalmente, utilizando la definición de la tangente inversa integral podemos reescribir el resultado tal como se anunció.

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Algunos de los pasos pueden ser simplificado en el anterior, pero no creo que realmente importa. Para un caso general, no parece prometedor, porque, por el mismo método, se obtiene: $$\int_a^b \frac{\operatorname{arccosh} x}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}dx=4\int_0^1 \frac{x\arcsin x}{\sqrt{\left(\frac{b-1}{b-a}-x^2\right)\left(\frac{b+1}{b-a}-x^2\right)}}dx$$ Y no podemos simplificar esa cosa dentro de la raíz cuadrada a través de $x=\sin t$.