Un algoritmo interesante sobre números primos que pensé hoy

Question

Pensé que el siguiente algoritmo de hoy:

Elija $a_1\in\mathbb{Z}^+\setminus\{1\}$. A continuación, vamos a $a_{n+1}=a_n+p_n$, donde $p_n$ es el mayor factor principal de $a_n$.

El algoritmo es fácil, pero tengo las siguientes preguntas:

$1)$ Es la secuencia de las $\{p_n\}$ monótonamente creciente?

$2)$ Hay una infinidad de números primos en la secuencia de $\{p_n\}$?

$3)$ Encontrar todos los $a,b\in\mathbb Z^+$ tales que existen infinitos números primos de la forma $ak+b$ donde $k$ es un entero no negativo en la secuencia de $\{p_n\}$.

He pensado en una solución para $1)$ e $2)$, como sigue:

$1)$Asumir el contrario, es decir, $p_n>p_{n+1}$ para algunos $n$.

Como $p_n|a_n$, $p_n|a_n+p_n\iff p_n|a_{n+1}$. Por lo $p_n\le p_{n+1}$. Una contradicción se eleva.

$2)$ Sí.

Asumir el contrario, hay un número finito de números primos en la secuencia de $\{p_n\}$.

Entonces como $\{p_n\}$ es monótonamente creciente, por Lo que existe una $m$ tal que $\forall i\ge m, p_i=p_m$. Por lo $a_i=a_m+(i-m)p_m$. También, nos vamos a los primos más pequeños de más de $p_m$ ser $p$. Pero como $(p, p_m)=1$, $\exists i<p+m$ tal que $p|a_i$. Una contradicción se eleva.

Creo que las soluciones anteriores parece correcto, pero puede ayudar a verificar?

También, alguien me puede ayudar a hacer $3)$?

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

1) Dependiendo de su definición de monótonamente creciente, se $p_{n} > p_{n-1}$ o $p_{n} ≥ p_{n-1}$. El primer caso es fácil de disprovable, solo escoge $a_{n} = 2$, e $p_{1}$ e $p_{2}$ son de dos 2. Para el segundo caso, ya que los $p_{n}|a_{n} \rightarrow p_{n}|a_{n} + p_{n} \rightarrow p_{n}|a_{n+1}$, lo $p_{n+1}$ al menos $p_{n}$. Por lo que dependiendo de su definición, su solución para la parte 1 que es correcto o incorrecto. Teniendo en cuenta que lo hizo de la misma forma que lo hizo, yo diría que estás en lo correcto.

2) después de lo que hemos demostrado en la primera parte, sólo tenemos que demostrar que $p_{n}$ no es constante con el tiempo. Una manera de demostrar que este es asumir $p_{n}$ es constante y demostrar que se debe aumentar, no importa el tamaño de $p_{n}$. Llame a la secuencia de $r_{n} = \frac{a_{k+n}}{p_{k}}$ donde $r_{n}$ termina cuando un nuevo valor de p surge (o no, pero estamos demostrando que lo hace). $r_{n+1} = r_{n} + 1$ desde $a_{k+n} + p_{k} = a_{k+n+1}$. Así que mientras a $\{r_{n}\}$ continúa, eventualmente, llegar a un primer después de $p_{k}$, lo que demuestra que la secuencia es infinito.

3) teniendo en cuenta que demostrar infinito de los números primos de la forma 11k+2 existen, por ejemplo, ya es un difícil problema matemático, haciendo infinitos casos parece bastante fuera de nuestro alcance. Tal vez alguien en Matemáticas.SE puede encontrar una solución, pero sólo puedo dar una hipótesis, que es que cualquier par (a, b) funciona siempre como mcd(b, a) = 1. Llamar a una nueva secuencia $p'_n$, que es sólo de los distintos términos en $p_n$. He hecho una observación interesante, sin embargo, me encontré con un par de ensayos con unos 10 o así de partida diferentes $a_{1}$, y n = 10,000, y puedo demostrar que $p'_{2}$ a $p'_{n}$ son todos los números primos consecutivos.

Divídelo en dos casos: (a) $a_{1} = p'_{1} * k$, donde k es menor que el próximo consecutivos el primer después de $p'_{1}$. A continuación, $a_{2} = p'_{1} * (k+1)$, etc. y, finalmente, $p'_{2}$ es el consecutivo el primer después de $p'_1$. Llame a $a'_n$ a ser el término correspondiente en $\{p'_n\}$. Por lo tanto, $a'_2 = p'_1*p'_2$. Esto puede ser extendido a n, ya que $\frac{a'_n}{p'_n} = p'_{n-1} < {p'_n}$, $p'_{n+1}$ es el consecutivo el primer después de $p'_n$.

(b) k es mayor que la próxima consecutivos el primer después de $p'_1$. A continuación, $p'_2$ es el siguiente primo después de la k, y, sin embargo, de nuevo, $\frac{a'_n}{p'_n} = p'_{n-1} < {p'_n}$, por lo que por la misma idea, como el caso de (a), $p'_{n+1}$ debe ser consecutivos el primer después de $p'_n$.

Espero que a alguien le puede ayudar con la parte 3, teniendo en cuenta todos arbitrariamente grande de los números primos son en $p_n$.