Poner $\Bbb T=\{z\in\Bbb C: |z|=1\}$. Supongamos que al contrario que para cada punto de $z\in\Bbb T$ la secuencia de $\{f_n(z)\}$ converge a $f(z)$. A continuación, $f(z)=0$, debido a que, desde el conjunto de $\{e^{in}:n\in\Bbb N\}$ es denso en $\Bbb T$, para cualquier natural $N$ existe $n>N$ tal que $|z-e^{in}|>1$, lo $|f_n(z)|<1/n^2$.
Ahora en el fin de responder a la pregunta que se puede intentar aplicar un general topológica de la herramienta que es de Baire Teorema. Para ello necesitamos que proporcionan una cobertura de $\Bbb T$ por una contables muchos conjuntos. Es decir, para cada natural $N$ puesto $$\Bbb T_N=\{z\in\Bbb T: |f_n(z)|\le 1/2\mbox{ for each }n\ge N\}.$$
El pointwise convergencia de la secuencia de $\{f_n\}$ implica que $\Bbb T=\bigcup_{N\in\Bbb N}\Bbb T_N$.
Puesto que cada función $f_n$ es continua (por ser una composición de funciones continuas; por ejemplo, a partir de una función de $g_n(z):\Bbb T\to\Bbb R$, $z\mapsto 1+n^{2}|z-e^{in}|$ es continua y positiva, en función de la $f_n$ es continua siendo una composición $jg_n$ de la función de $g_n$ y una función continua $j:\{x\in\Bbb R:x>0\}\to \Bbb R$, $x\mapsto x^{-1}$ ), un conjunto $\{z\in\Bbb T: |f_n(z)|\le 1/2\} $ se cierra ser una preimagen $f_n^{-1}([-1/2,1/2])$ de un conjunto cerrado $[-1/2,1/2]$. Así el conjunto $\Bbb T_N$ se cierra ser una intersección de una familia de conjuntos cerrados. Por Baire teorema, existe $N\in\Bbb N$ tal que $\Bbb T_N$ tiene un no-vacío interior en $\Bbb N$. Existe un número de $n>N$ tal que $e^{in}\in\Bbb T_N$. A continuación, $f_{n}(e^{in})=1>1/2$, una contradicción.
