¿Cómo maximizar el área de un cuadrado inscrito en un triángulo equilátero?

Question

Tenemos un triángulo equilátero y queremos inscribir un cuadrado, de forma que se maximice el área del cuadrado.

He esbozado dos posibles formas, no a escala y no perfectas.

Nota: no estoy seguro de que la segunda forma tenga realmente todas las esquinas cuadradas tocando los lados del triángulo.

En el segundo caso parece que los lados del cuadrado son mayores, por lo que el área es mayor. Pero no sé cómo determinar los ángulos implicados. ¿Cómo resolver esto?

Answer 1

Dejemos que $a_1$ y $a_2$ sean las longitudes de los lados de los dos cuadrados. Para determinar cuál es más grande, simplemente miramos su proporción a continuación.

Con los ángulos del diagrama,

$$d_1=\frac{1}{2\tan 30}a_1=\frac{\sqrt{3}}{2}a_1$$ $$d_2=\frac{\sin 15}{\sin 30}a_2=\frac{1}{2\cos 15}a_2$$

Supongamos que ambos triángulos equiláteros tienen altura unitaria.

$$1=a_1+d_1=\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)a_1=\frac{1}{2}(2+\sqrt{3})a_1$$ $$1=\sqrt{2}a_2+d_2=\left(\sqrt{2}+\frac{1}{2\cos 15}\right)a_2=\frac{1}{2}(\sqrt{2}+\sqrt{6})a_2$$

Por lo tanto, su proporción es

$$\frac{a_1}{a_2}= \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2+\sqrt{3}} =\left(\frac{8+4\sqrt{3}}{7+4\sqrt{3}}\right)^{\frac{1}{2}} > 1$$

Answer 2

La segunda configuración (el cuadrado tiene contacto de aristas con el triángulo) tiene efectivamente un cuadrado inscrito mayor. Si el cuadrado tiene lados unitarios, el lado del triángulo es $1+\frac2{\sqrt3}$ :

La primera configuración simétrica puede resolverse como sigue. Establecer la esquina inferior del cuadrado unitario como $(0,0)$ para que la esquina superior sea $(0,\sqrt2)$ . Sea la longitud del lado del triángulo $r$ . Entonces tenemos, por triángulos similares, $$\frac{(\sqrt3/2)r-\sqrt2/2}{\sqrt2/2}=\sqrt3$$ $$r=(1+\sqrt3)\sqrt{\frac23}=2.230\dots$$ y esto es mayor que $1+\frac2{\sqrt3}=2.154\dots$ por lo que la primera configuración tiene un cuadrado inscrito más pequeño que la segunda.

Answer 3

Sea la longitud de los lados del triángulo equilátero igual a $1$ .

Dejemos que $x$ son las longitudes de los lados del cuadrado en la primera configuración.

Así, por ley de los senos obtenemos: $$\frac{x}{\sin60^{\circ}}=\frac{\frac{1}{2}}{\sin75^{\circ}}$$ o $$\frac{x}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1+\sqrt3}{2\sqrt2}}$$ o $$x=\frac{\sqrt3}{\sqrt2(1+\sqrt3)}$$ y para el área del cuadrado obtenemos $$\frac{3}{2(4+2\sqrt3)}=\frac{3}{4}(2-\sqrt3).$$

Dejemos que $y$ son las longitudes de los lados del cuadrado en la segunda configuración.

Así, por similitud obtenemos: $$\frac{y}{1}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}-y}{\frac{\sqrt3}{2}}$$ o $$y=\sqrt3(2-\sqrt3)$$ y para el área del cuadrado obtenemos $$3(7-4\sqrt3),$$ que es un poco mayor.