¿Existen definiciones interesantemente no equivalentes de contabilidad sobre ZF?

Question

Más de ZF, hay muchas definiciones de infinito (y por lo tanto finito) que no son equivalentes, sino que se convierten en equivalentes en virtud de la presencia de (una versión débil de) el axioma de elección. Ver "Otras nociones de la finitud" en la Wikipedia por ejemplo.

Me pregunto si lo mismo sucede con countably conjuntos infinitos. Algunos obvios ciertamente parece ser equivalente: la admisión de un bijection a $\omega$, una desenfrenada de la inyección en $\omega$, o un surjection de $\omega$ (pero no de un número natural). Hay diferentes caracterizaciones de countably conjuntos infinitos que son equivalentes a más de ZFC, pero no más de ZF, y que dan lugar a algunas diferencias interesantes?

(Por 'interesante' me refiero a que no estoy interesado en las caracterizaciones tales como "$A$ es countably infinito si existe un bijection $\omega \to A$ y, además, cada conjunto está bien-disponible".)

Answer 1

Countability es una especie de grabado en piedra. Así que la única diferencia que puedo pensar en que habría de venir de tomar una definición de lo finito, que no es equivalente a la usual finitud sin alguna elección, algunos de los $X$-finito de conjuntos, y definir contables de la siguiente manera:

$A$ es $X(1)$-contable si para cada $B$ tal que cualquier $X$-finito inyecta en $B$, a continuación, $A$ inyecta en $B$ así.

O,

$A$ es $X(2)$-contable si no es $X$-finito, pero cada estrictamente menor cardinalidad es $X$-finito.

Tenga en cuenta que la primera definición es peculiar, ya que la elección es posible que $\omega$ no $X(1)$-contable si $X$ no es equivalente a la finitud y no hay Dedekind-finito de conjuntos. De hecho, es posible que no existen numerables de conjuntos bajo este extraño definición.

En el segundo caso, es siempre el caso de que $\omega$ es $X(2)$-contable, ya que cualquier definición de finito que los números naturales no cumplen o que $\omega$ satisface es una mala definición de lo finito. Pero puede ser que hay dos diferentes conjuntos contables. Por ejemplo, si $D$ es un conjunto amorfo, a continuación, $D\cup\omega$ es tal, que cualquier subconjunto más pequeño es amorfo o equivalente a $D\cup\omega$. Así que tomando $X$ a Dedekind-finito, o "finito o amorfa", ambos $\omega$ e $D\cup\omega$ se $X(2)$-contables.

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Usted se dará cuenta, sin embargo, que estos son un poco artificial, como contraposición a los diversos definición de la finitud, ya que countability es muy inherentemente acerca de los números naturales. Así que es un tipo difícil de conseguir alrededor de eso.